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Introduction aux théories de M. Einstein en vue de leur application à l’astronomie

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INTRODUCTION

AUX

THÉORIES DE M. EINSTEIN

EN VUE DE LEUR

APPLICATION À L’ASTRONOMIE



Depuis quelques années, le grand public entend parler de la relativité, et sa légitime curiosité est soumise à une très grande épreuve car, les travaux fondamentaux sur ces nouvelles théories sont difficilement accessibles tant à cause des nombreuses connaissances physiques qu’ils exigent de la part de celui qui les lit, que parce que la langue mathématique, dans laquelle ils sont écrits ne laisse pas que d’être très abstraite. Dans cette leçon inaugurale, où les développements ardus du spécialiste ne sont pas de mise, nous nous efforcerons de dégager les idées fondamentales de la grandiose synthèse que l’on doit à M. Einstein. On peut dire que l’armature des théories einsteiniennes, ce qui en fait la très grande force et ce qui leur donne cette beauté majestueuse, à quoi l’on reconnaît la marque d’un prestigieux génie, c’est la fusion dans une synthèse hardie de la géométrie, de la mécanique et de la physique. C’est autour de cette idée que je grouperai les développements que je désire rendre aussi élémentaires que possible, et au moyen desquels j’espère vous donner une idée claire de l’aspect que revêt une partie de la science contemporaine.

Il est utile pour le but que nous poursuivons de rappeler à grands traits l’histoire des théories physiques qui ont précédé la théorie de la relativité et qui l’ont rendue nécessaire.

N’importe quel candidat au baccalauréat ès lettres, que dis-je, n’importe quel collégien possédant un rudiment de physique sait ce qu’est l’éther lumineux. Il vous dira que la lumière n’est certainement pas due à une émission de particules de la part de la source lumineuse comme le croyait Newton, mais au contraire, qu’elle est due à des vibrations qui se propagent ; et notre collégien n’aura garde d’ajouter que cette propagation se fait dans un milieu spécial baignant tous les corps et qu’on appelle l’éther lumineux. Et il vous le prouvera en faisant le vide sous une cloche de verre ; dans un tel milieu le son ne se propage plus parce que l’air en a été chassé, mais la lumière peut le traverser ; or puisque ce phénomène est un phénomène vibratoire, il faut bien que quelque chose soit resté dans la cloche, qui permette aux vibrations de se transmettre ; ce quelque chose, c’est l’éther. On peut dire suivant un mot célèbre que l’éther, c’est le sujet qu’il faut mettre au verbe onduler toutes les fois que celui-ci s’introduit dans une explication optique.

L’hypothèse de l’existence grammaticale de cet agent nouveau fut très féconde puisqu’elle permit à Fresnel, grâce à l’instrument mathématique, de condenser dans quelques formules simples, l’ensemble des phénomènes lumineux et surtout puisqu’elle lui permit d’en découvrir de nouveaux. À la même époque et d’une façon tout à fait indépendante, certains savants, parmi lesquels il faut citer Ampère, entreprenaient l’étude du magnétisme et de l’électrodynamique. Il est oiseux, pour le but qu’ici nous poursuivons, d’entrer dans les détails. Rappelons que les différentes hypothèses qui régissaient ces deux nouvelles parties de la science leur donnaient une physionomie particulière ; de plus les découvertes nombreuses qui se succédaient en peu de temps ne laissaient pas que de saper les explications admises ; c’est tout juste si les formules mathématiques essentielles n’étaient pas bouleversées. C’est à Maxwell qu’on doit l’unité de cette partie de la science ; mais chose curieuse et qui doit nous frapper d’admiration, cette unité fut obtenue par l’adjonction de l’optique à l’électrodynamique.

La propagation de variations du champ électrique et du champ magnétique se fait dans l’éther avec la vitesse de la lumière ; de là à unir dans une synthèse grandiose les phénomènes lumineux aux phénomènes électriques, il n’y avait qu’un pas pour le génie qu’était Maxwell.

Il fut aisément franchi et les équations dites de Maxwell étaient bien — grâce à quelques retouches de Hertz et de Lorentz — l’expression la plus simple et la plus conforme à la réalité que l’on eût de l’ensemble des phénomènes dont je viens de parler. Les propriétés de l’ether de grammaticales qu’elles étaient avec Fresnel, devenaient grâce à Maxwell, de véritables propriétés physiques ; mais déjà quelques contradictions entre ces diverses propriétés en rendaient l’intelligibilité bien ardue. Ce n’était qu’une alerte dont on ne s’inquiéta guère, mais en poursuivant les conséquences de l’hypothèse de l’ether tant en optique qu’en électromagnétisme, on fut néanmoins acculé dans une impasse. Du moment où l’éther remplit tout l’espace, et dès l’instant où l’on est persuadé en particulier que la terre dans sa course se déplace dans cet éther, il devient intéressant de chercher comment le mouvement de la terre peut altérer les phénomènes dus aux ondes lumineuses qui nous viennent d’un astre quelconque, le soleil par exemple. Qu’on saisisse bien la question ! La vitesse de la lumière mesurée par un observateur qui se rapproche de la source d’ondes doit être différente de celle que mesure un observateur qui s’en éloigne. Les prévisions que la théorie de l’éther nous permettait de faire nous laissaient entrevoir très précisément que la composition du mouvement de la terre avec le mouvement des ondes amènerait, dans certaines expériences, tel et tel phénomènes dont ce n’est pas ici le lieu de décrire le détail. Par l’expérience on allait pouvoir déceler le mouvement de la terre par rapport à l’éther ; jusqu’alors on connaissait seule. ment le mouvement relatif de la terre par rapport à tel ou tel corps céleste, mais rien ne pouvait nous faire toucher du doigt, — si je puis ainsi dire — un mouvement absolu.

Or les conséquences de la théorie de l’éther devaient nous déceler ce mouvement dans l’espace absolu, cher aux métaphysiciens, tout au moins dans l’éther qui baigne cet espace. L’expérience ou plutôt les expériences[1], — car il y en eut aussi qui furent d’ordre électrique — furent négatives ; rien ne nous permettait de déceler le mouvement de la terre par rapport à l’éther. Il fallait donc reviser la théorie, puisqu’une de ses conséquences rigoureuses se trouvait infirmée.

L’impression que laissèrent alors les essais de sauvetage de la théorie — hypothèse de Lorentz d’une contraction des corps en mouvement, etc. — créa chez les physiciens un état de scepticisme qui est peut-être la cause ou mieux l’une des causes de la renaissance des études critiques de philosophie scientifique. Ces essais de sauvetage étaient vains. C’est alors que M. Einstein en 1905, dans un mémoire célèbre, montra que toutes les difficultés s’évanouissent si l’on veut faire abstraction des vieux principes dont les conséquences étaient infirmées.

La raison pour laquelle on est arrêté tient à de vieilles habitudes de penser, on croit à un temps et à un espace absolus, on se figure que la simultanéité est une notion précise et première, alors que physiquement rien ne justifie ces idées préconçues. Supprimons-les, violentons un peu notre esprit toujours paresseux quand il s’agit de concevoir d’autres principes que ceux dont il a l’habitude et reconstruisons l’optique électromagnétique sur de nouvelles bases. Grâce à cette hardiesse, M. Einstein put édifier une théorie — on l’appelle aujourd’hui la théorie de la relativité restreinte — parfaitement cohérente, où tous les résultats de l’ancienne théorie, vérifiés par l’expérience, trouvaient leur place et où les expériences négatives étaient expliquées. La synthèse était sauvée, mais les principes étaient autres. Poursuivant avec une inlassable continuité les conséquences de sa théorie, désireux d’autre part d’élargir la synthèse et d’y faire entrer les phénomènes dus à la gravitation universelle, et enfin soucieux de résoudre quelques difficultés organiques que soulève la nouvelle théorie, M. Einstein réussit dans une série de mémoires parus dans les années 1913 et suivantes, à atteindre les multiples buts qu’il s’était proposés. Aujourd’hui, grâce à cette théorie de la relativité généralisée, on peut contempler dans un ensemble harmonieux tous les phénomènes physiques, qu’ils soient d’ordre mécanique, optique, électrique ou même thermodynamique. Mais reconnaissons-le immédiatement : malgré le bel aspect de la physique de M. Einstein, malgré sa fécondité même, il s’est trouvé de suite des adversaires dans la nombreuse troupe des philosophes et même parmi les physiciens qui ne veulent pas renoncer à leurs vieilles habitudes de penser. Ces objections sont tirées d’une théorie de la connaissance qui prétend trouver dans des schémas et dans des concepts rigides espace, temps, matière, énergie, un ensemble nécessaire et immuable pour y classer nos perceptions. Comme il est temps enfin d’en arriver à un exposé détaillé des idées de M. Einstein, nous abandonnons ici l’histoire de la physique et nous chercherons à montrer que les nouvelles idées ne sont pas aussi choquantes qu’on veut bien le dire puisque — nous le verrons — elles sont inspirées du mathématisme le plus pur et l’on sait bien que la réduction du réel au nombre a été la préoccupation constante de tous les physiciens.

Chacun sait suivant quel procédé le nombre s’est introduit dans la géométrie, c’est-à-dire comment on a pu faire une description numérique des propriétés de l’espace. C’est par le moyen des coordonnées que Descartes a atteint d’une façon définitive le but que les Grecs et tout particulièrement les Pythagoriciens poursuivaient, à savoir l’arithmétisation de l’espace. Personne n’ignore en quoi consiste cette méthode sur un point de laquelle j’insisterai tout à l’heure, mais on oublie en général que la « géométrie » du philosophe mathématicien n’était qu’un premier pas vers un but plus lointain : l’explication du monde physique — et peut-être de tout l’univers — par les simple notions de figure et de mouvement ; la figure étant soumise au nombre, il restait à domestiquer le mouvement ; on y arriva, partie par la mesure de temps, partie par la loi de description des courbes.

On peut dire que la géométrie analytique est un moyen d’étude très souple des propriétés d’un être géométrique.

Insistons-y davantage. Supposons qu’on veuille étudier les points d’une droite ; on pourra en choisissant arbitrairement un point sur celle-ci, nommé origine, caractériser tous les autres points par leur distance à l’origine, comptée positivement vers la droite et négativement vers la gauche, par exemple. Nous dirons que le nombre positif ou négatif ainsi obtenu est l’abscisse du point en question.

Dans un plan, on sait que deux nombres, l’abscisse et l’ordonnée, permettent de caractériser complètement aussi la position d’un point quelconque ; enfin dans l’espace par le moyen de trois plans perpendiculaires 2 à 2, à la manière de trois faces adjacentes d’un cube, il faudra trois nombres, l’abscisse, l’ordonnée et la cote pour reconnaître les points à étudier. Pour exprimer ces faits dans un langage qui nous sera utile plus tard, nous dirons que la droite est un continu à une dimension, le plan, un continu à deux et l’espace un continu à trois dimensions ; je le répète, cela ne veut pas dire autre chose que ceci : il faut un, deux ou trois nombres pour caractériser uniquement les points d’une droite, d’un plan ou de l’espace.

Nous allons voir que ce langage peut s’appliquer à la durée ; en effet chaque instant de la durée pour un individu particulier peut être caractérisé par un nombre qu’indique une horloge ; on peut dire que les différents événements qui se passent dans le temps peuvent être ordonnés suivant une chaîne ou une ligne indéfinie ; comme chacun de ces instants est caractérisé par un seul nombre, nous dirons que le temps est un continu à une dimension ; autrement dit, au point de vue analytique, rien ne distingue l’écoulement du temps de la suite des points d’une droite.

Il était d’usage avant M. Einstein de distinguer soigneusement l’espace du temps, et il faut convenir qu’on avait, pour ce faire, de bonnes raisons, et a priori, on voit ce qui distingue ces deux catégories plutôt que ce qui les rapproche. Mais les considérations suivantes vont nous faire trouver un point de vue nouveau.

Supposons un phénomène se passant en un point de l’espace ; on pourra caractériser sa position par trois nombres ; mais ce phénomène a lieu à un instant de la durée, caractérisé par un nombre, lui aussi, de sorte que notre « événement » c’est-à- dire la considération d’un point de l’espace à un instant de la durée peut être distingué de tous les autres par quatre nombres. Remarquons que l’on ne saurait séparer dans une étude physique l’espace du temps ; un point de l’espace que l’on distingue in abstracto sans préciser l’instant, n’a aucun sens physique ; de même, parler d’un instant de la durée sans spécifier quelle portion de l’espace on considère, cela n’a aucun sens non plus, si ce n’est celui-ci que l’on considère précisément tout l’espace à cet instant-là. On voit donc qu’il est légitime de dire que tout l’ensemble des événements qu’il est possible d’imaginer, forme un continu à quatre dimensions que nous appellerons l’univers. L’étude de l’univers est l’objet de la cinématique.

Il y a plusieurs façons d’entreprendre cette étude, et l’on voit bien qu’avant tout, il faudra s’entendre sur la manière de définir les notions fondamentales de cette science du mouvement. Bien évidemment tout dépendra de la manière dont on mesure les longueurs et le temps. Ce sera l’objet des considérations qui suivent que de faire l’exposé comparé des idées antérieures aux travaux de M. Einstein et des idées de ce physicien.

Bien que la mesure du temps et la mesure de l’espace suivant les vieilles idées soient familières à tous ceux qui ont pris le train une fois dans leur vie, ou à ceux qui se sont passionnés pour le record de la vitesse des avions, il ne sera pas inutile peut-être de faire saisir ici — et par opposition cela nous fera mieux comprendre la relativité restreinte — quelles sont les idées préconçues qui dirigent l’élaboration de la cinématique, classique il y a 15 ans.

Elles reposent sur la distinction nette et sans appel des deux continus dont nous avons indiqué les propriétés principales tout à l’heure. Les propriétés géométriques d’un système ne peuvent et ne doivent en aucune façon dépendre de la manière dont on mesure le temps ; et réciproquement, les notions de simultanéité et d’écoulement de la durée ne vont pas être influencées par les positions des observateurs ou des horloges dans l’espace. Rien ne fera mieux saisir les fondements de la cinématique ancienne, que l’image suivante due à l’illustre mathématicien, H. Poincaré.

Le physicien qui se proposait l’étude des mouvements s’identifiait à une vaste conscience universelle, capable de discerner immédiatement tout ce qui se passait dans l’espace entier. Cette conscience après avoir pris connaissance d’une manière extemporanée de tout ce qui existe, établit ensuite un classement dans la succession des différents états de l’espace. Puisque nous imaginons que dès l’instant où il se produit un phénomène, elle en a immédiatement connaissance, deux phénomènes seront dits simultanés si elle les connaît au même instant ; remarquons que l’énoncé de cette définition revient à imaginer la possibilité d’étendre à tout l’espace, la notion bien intuitive de la simultanéité telle que nous pouvons l’avoir dans un espace restreint. Supposons des observateurs se déplaçant dans l’espace absolu où siège notre conscience universelle, emportent avec eux leurs instruments de mesure : mètres et horloges. À un instant donné, la conscience universelle voit toutes les horloges, dans chacun des laboratoires imaginés, marquer la même heure ; c’est ce que nous exprimerons en disant que le temps est absolu, et que sa mesure est indépendante de l’observateur. Il sera alors facile pour des observateurs se déplaçant les uns par rapport aux autres, moyennant les deux hypothèses — d’ordre métaphysique — de l’existence d’un espace et d’un temps absolu, d’établir des relations entre eux, c’est-à-dire d’établir des formules qui permettent de passer d’un ensemble de mesures faites dans un laboratoire, à un ensemble de mesures, relatives au même phénomène, faites dans un autre laboratoire. Remarquons en passant le caractère métaphysique[2] du temps absolu. En effet, si deux phénomènes se passent en deux points différents de l’espace, pour en avoir une connaissance immédiate permettant de les dire ou non simultanés, il faudra supposer que certains des effets qui les révèlent à l’observation se propagent avec une vitesse infinie ; ou bien il faudra postuler une fois pour toutes que la marche d’une horloge est absolument indépendante des voyages qu’elle peut faire dans l’espace. Le mérite de M. Einstein est d’avoir rompu avec ces notions métaphysiques ; il a défini la simultanéité d’une manière purement physique, et il n’a pas craint de bouleverser nos habitudes de penser à cet égard. Rien ne nous prouvant que la marche des horloges ne dépend pas de leurs mouvements relatifs, laissons en suspens la question et voyons ce que l’expérience nous apprend.

Tout d’abord nous ne connaissons aucun phénomène dont les effets se propagent avec une vitesse infinie, donc rien ne peut physiquement, nous donner des indications sur la simultanéité telle que nous venons de nous la représenter. La meilleure manière d’établir des correspondances temporelles entre des phénomènes se passant en des endroits différents, c’est d’envoyer des signaux optiques ou électriques. Cette méthode nous permettra de définir la mesure du temps pour des observateurs en repos relatif, c’est-à-dire situés toujours à des distances respectives constantes ; on trouvera dans ce cas les mêmes résultats que si l’on imaginait que chacun de nos observateurs fût la conscience universelle à quoi j’ai fait allusion tout à l’heure. Mais il va en être autrement si l’on imagine des observateurs, deux par exemple, en mouvement relatif. Si l’un A envoie un signal à B qui s’éloigne de A, l’onde lumineuse mettra un temps plus grand pour rattraper B, que le temps que mettra un signal issu de B pour atteindre A qui va au devant de ce signal. Le réglage des horloges de A et de celles de B ne sera pas chose très facile. Nous avons rappelé plus haut l’expérience de Michelson et Morley qui prouve l’impossibilité de déceler le mouvement de la terre dans l’éther. Eh ! bien, il faudra pour que nous obtenions un chronométrage satisfaisant en A et en B, qu’aucun de nos deux observateurs A ou B ne puisse dire en consultant ses montres à lui et en faisant des mesures optiques comment il se meut dans l’éther. Du coup, on voit que l’expérience de Michelson et Morley supprime toute possibilité d’avoir connaissance de l’espace absolu par des mesures optiques, ou électromagnétiques ; de plus elle nous oblige[3] à admettre que la vitesse de la lumière est une constante, quelle que soit la vitesse (uniforme) de l’observateur qui la mesure.

En satisfaisant à ces deux desiderata expérimentaux, M. Einstein fut conduit à construire une cinématique nouvelle où deux événements coïncidant dans l’espace et dans le temps pour un observateur, conservent cette relation pour n’importe quel autre observateur, tout comme dans l’ancienne cinématique, mais où deux événements distants dans l’espace et simultanés pour un observateur, cessent en général d’être simultanés pour un autre observateur mobile par rapport au premier.

On comprend que ces notions nouvelles bouleversant, par leurs conséquences immédiates, les notions acquises, durent exiger un remaniement complet de la physique. Il fallait en particulier refaire la mécanique, c’est-à-dire la science qui étudie les effets des forces. Le travail nouveau consistait à faire l’analyse des principes fondamentaux de la mécanique classique, dus aux efforts des Galilée, des Huyghens et surtout des Newton, d’en faire la critique en se maintenant toujours en contact direct avec l’expérience ; on chercherait alors à sauver des vieilles notions tout ce que l’expérience ne condamnait pas et à remplacer le reste par du nouveau. Il fallait un génie d’une rare sagacité pour mener à bien ce travail ; M. Lorentz en avait déjà, en 1895, conçu une partie, mais c’est M. Einstein — toujours dans le célèbre mémoire de 1905 — qui réussit à atteindre la première étape.

On sait que Newton créa la dynamique ; ce fut même l’une des plus belles applications du calcul infinitésimal inventé à la fois par l’illustre savant anglais et par Leibniz. Une des conséquences des principes de cette science — conséquences tellement essentielle qu’elle peut remplacer l’un de ces principes — est la suivante :

Imaginons un physicien étudiant les lois de la dynamique et plaçons-le d’abord dans un laboratoire fixe sur la surface de la terre ; il obtiendra une formulation de ces lois qui tiendra dans quelques égalités mathématiques. Si maintenant on imagine l’observateur dans un train animé d’une vitesse uniforme, et si nous supposons qu’il étudie les mêmes phénomènes que tout à l’heure, il obtiendra des lois qui, chose curieuse, sont identiques à celles qu’il obtenait avant. Ce ne serait plus la même chose si le train avait un mouvement non uniforme. Un exemple fera mieux comprendre ces notions un peu abstraites ; j’en indique un qui nous sera utile dans la suite.

Au lieu d’un train, nous imaginerons un ascenseur. Supposons-le au repos, et voyons comment un physicien qui l’habite, formulera les lois de la chute des corps.

On n’ignore pas — car c’est bien là une des premières notions qu’on acquiert en physique — que le mouvement de chute est un mouvement uniformément accéléré, c’est à dire que la vitesse de chute augmente toutes les secondes d’une même quantité dite l’accélération qui sous nos latitudes vaut 9,81 m.

Si maintenant, on fait monter ou descendre l’ascenseur avec une vitesse constante, notre physicien, étudiant les corps qui tombent hors de sa cage, constatera encore qu’ils ont la même accélération par rapport à son laboratoire. Autrement dit, en étudiant la chute libre des corps, notre physicien obtiendra des lois qui ne dépendent en rien de la vitesse de son mouvement ; en d’autres termes encore, il sera impossible à notre physicien de déceler son mouvement relatif (s’il est uniforme) par l’étude d’un phénomène mécanique dont il connaît les lois quand il est au repos. Il en va autrement quand son mouvement est varié.

La mécanique newtonienne, c’est-à-dire la vieille mécanique, satisfait donc au principe suivant, qu’on appelle un principe de relativité :

Les lois de la nature, telles qu’elles sont formulées par des observateurs en mouvement relatif uniforme les uns par rapport aux autres, ne dépendent en rien des vitesses respectives de ces observateurs.

L’importance de ce principe de relativité est telle que M. Einstein le prit comme base de sa première construction. En y ajoutant le principe de la constance de la vitesse de la lumière, on a tout ce qu’il faut pour avancer. C’est ainsi que dès l’abord, M. Einstein retrouva les résultats de Lorentz auxquels j’ai fait allusion plus haut. La première relativité était fondée.

On doit à Minkowski une élégante interprétation mathématique des résultats de M. Einstein. Considérons le continu à quatre dimensions (espace-temps) que nous avons appelé l’univers. Il est possible de faire voir que l’étude des lois de cet univers faite par différents observateurs en mouvement relatif uniforme, revient à la description que l’on peut faire de ce continu quadridimensionnel suivant que l’on imagine les quatre axes de coordonnées rectangulaires, placés d’une manière ou placés d’une autre[4].

Ce changement d’axes qui exprime d’une manière géométrique le principe de relativité restreinte se traduit analytiquement, par un changement de variables qui s’appelle la transformation de Lorentz.

Remarquons que les équations de Maxwell-Lorentz qui régissent les phénomènes électromagnétiques et optiques satisfont au principe de relativité et à celui de la constance de la vitesse de la lumière, mais sont en contradiction avec la mécanique de Newton, de sorte que l’on avait déjà sans s’en douter, avant les travaux de Lorentz et d’Einstein, avant l’expérience de Michelson et Morley, un instrument analytique, propre à exprimer le réel, mais contradictoire avec une autre partie de la science : la dynamique newtonienne.

La synthèse électromagnétique et optique acquérait ainsi par les travaux de M. Einstein un regain de vitalité. Un autre ordre de phénomènes, je veux parler de ceux qui sont produits par la gravitation c’est-à-dire par ce qu’on appelait il y a 6 ans encore l’attraction, restait bien mystérieux. De plus, puisque l’espace et le temps absolus tombaient en ruine sous les coups de M. Einstein, il était une notion qui perdait son sens encore, à savoir l’accélération absolue ; or, dans la théorie de la relativité restreinte, cette notion n’a pas disparu ; l’accélération y conserve un sens absolu. Cela choquait. En effet, qu’est-ce qu’une accélération dès l’instant où l’espace absolu est un mythe : c’est une fable.

L’accélération devient relative logiquement. C’est à la recherche de la solution de cette antinomie et à l’incorporation des phénomènes gravifiques dans la synthèse physique que M. Einstein se mit à travailler. Grâce à une continuité dans l’effort et à une perspicacité géniale, il y parvint en 1913. Chose curieuse, les deux difficultés en question furent résolues en même temps par un principe unique. Nous l’allons voir.

Mes auditeurs me pardonneront si je soumets leur attention à une épreuve nouvelle, avant d’arriver à la construction synthétique qui achève l’œuvre de M. Einstein, mais il est absolument nécessaire d’introduire ici des notions quelque peu difficiles à manier, et j’essaierai d’en dégager la signification pour les problèmes qui nous occupent. M. Einstein a dû faire dans la géométrie pure une incursion assez profonde pour y trouver un instrument qui lui permît de faire de bon travail. C’est dans les idées de Gauss et de Riemann, son élève qu’il a trouvé ce qu’il lui fallait.

Introduisons la question par un exemple simple.

Considérons la surface de la terre et proposons-nous d’y faire des mesures de longueurs ou d’aires. Si nous restons par exemple, si dans un domaine petit autour d’un point — nous considérons un village — nous pourrons dire dans une première approximation, que la surface en est plane et tous les théorèmes de géométrie élémentaire que nous avons appris dans notre enfance seront immédiatement applicables à cette petite étendue de terrain. Mais supposons que nous considérions, non plus un petit village, mais un grand pays. Il ne faudra pas de longues investigations pour que nous nous rendions compte que le domaine étudié n’est pas plan et nous serons obligés, pour faire des mesures correctes, d’introduire la courbure de la terre dans les formules qui donnent les longueurs ou les aires ; non seulement il faudra que nous adoptions une géométrie sphérique, mais encore, il faudra que nous supposions un rayon terrestre variable, puisque la terre est aplatie aux pôles. C’est dire que les propriétés métriques de la surface terrestre varient d’un point à un autre, alors que sur un plan, elles restent identiques à elles-mêmes. Si nous quittons cet exemple simple pour généraliser d’un degré, et que nous considérons des surfaces tout à fait quelconques, nous aurons à faire les mêmes constatations. Les propriétés métriques d’une surface varient d’un point à un autre ; si l’on sait la loi de cette variation, Gauss a montré que la surface est déterminée (à quelques éléments près sur lesquels je n’insisterai pas). Or cette loi de variation, on peut la saisir quand on connaît la courbure de la surface en chacun de ses points. On a à peu près l’intuition que cette courbure mesure, en quelque manière, la façon dont la surface s’éloigne d’un plan — du plan tangent — en chacun de ses points.

Remarquons que les propriétés métriques se définiront de proche en proche. On les connaît en un point, on passe au point voisin où on les détermine, puis à un 3e point voisin et ainsi de suite en suivant un chemin quelconque aboutissant au point qui nous intéresse. On effectue des opérations analogues à celles des géodésiens. Notre géométrie n’est plus une géométrie globale comme celle que nous faisions dans notre jeune âge, mais elle est une géométrie infinitésimale, ou, si l’on veut, une géométrie par cheminement ou par contact. Riemann dans un remarquable travail intitulé « Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie » s’est demandé s’il n’était pas possible d’étendre aux continus à plus de deux dimensions les résultats que Gauss avait si heureusement trouvés pour les continus bidimensionnels. On conçoit que l’étude de ces continus ou multiplicités (comme Riemann les appelle) soit difficile à suivre en langage ordinaire ; il faut pour bien la saisir, employer le langage mathématique dans toute son abstraction. Néanmoins cherchons à la caractériser. Supposons une multiplicité tridimensionnelle. Si l’on reste dans le voisinage immédiat d’un de ses points, on pourra, en première approximation, considérer cette région comme différant très peu d’une portion d’espace euclidien, c’est-à-dire d’espace où les théorèmes appris dans notre enfance sont vrais. On imagine couramment que ces théorèmes sont partout applicables ; détrompons-nous. De même que la géométrie euclidienne plane se trouve en défaut sur la surface terrestre, de même dans l’espace entier où nous nous trouvons, il est nécessaire — comme nous le verrons plus loin — d’imaginer, pour rendre compte des propriétés métriques, que dans une région assez grande la géométrie euclidienne n’est plus valable, si l’on ne veut pas quitter le continu qu’on étudie. C’est la manière dont la multiplicité s’écarte d’une multiplicité euclidienne qui caractérise de nouveau une courbure dont la connaissance en fonction de chaque point du continu suffit à caractériser celui-ci. Il en va de même pour une multiplicité à un nombre quelconque de dimensions.

Encore une fois, ce sont des propriétés infinitésimales — disons mieux locales — que caractérise la courbure en chaque point. Pour avoir une étude de toutes les propriétés métriques de la multiplicité, il faudra procéder encore par cheminement. On conçoit bien ici, dès que le nombre des dimensions est supérieur à 3, que l’on n’a plus guère la possibilité d’utiliser des représentations géométriques simples ; néanmoins le langage géométrique est très utile pour exprimer les faits qui découlent des formules.

Résumons ces résultats en quelques mots. L’étude d’une multiplicité à un nombre quelconque de dimensions est une étude purement locale ; on arrive à étudier tout le continu en cheminant de proche en proche ; ces démarches sont guidées : ou bien par la connaissance de la courbure en chaque point, ce qui entraîne la connaissance de la métrique ; ou bien par celle-ci, d’où l’on déduit celle-là. Une multiplicité où la courbure est constamment nulle est dite euclidienne au sens large. C’est le plan, par exemple, pour le cas à 2 dimensions. Sur une telle multiplicité, les propriétés locales sont identiques partout.

Si nous revenons à l’univers de Minkowski, on peut dire qu’il forme une multiplicité à 4 dimensions, euclidienne au sens large, c’est-à-dire à courbure partout nulle.

Cela rappelé, nous développerons les idées générales des travaux de M. Einstein de 1913 et des années suivantes. Nous sommes cette fois-ci presque au cœur de la question, énonçons-la de nouveau.

Une difficulté a déjà été signalée plus haut à propos de la relativité restreinte. Elle est essentielle et elle accroche durement la réflexion ; c’est à propos de l’accélération qu’elle se pose. Tout comme pour Newton, il est possible, en relativité restreinte, de déceler par des expériences faites à l’intérieur d’un système (notre ascenseur, voir par exemple page 13) si ce système a une accélération. Or cette accélération, conservant un sens absolu, choque notre idée de la relativité de l’espace, telle que nous l’avons envisagée. On conserve ainsi — en relativité restreinte — et d’une manière non déguisée, la fable métaphysique de l’espace absolu.

Il faudrait arriver à ceci que l’impossibilité éclatât dans une nouvelle théorie, de déceler par des expériences faites à l’intérieur d’un système, son état de mouvement par rapport à un système absolu, ou à un système privilégié que l’on considérerait comme absolu.

De plus — et j’aborde le deuxième point qu’il faut éclaircir — notre goût de l’unité dans les théories physiques nous faisait désirer depuis longtemps une explication de la gravitation, ou si l’on veut de l’attraction universelle, qui permît de faire entrer cette partie de la science dans la synthèse physique. On connaît les critiques fameuses auxquelles furent soumises les idées de Newton sur l’action à distance.

Je veux bien que l’illustre créateur de la mécanique céleste avait dit : « Tout se passe comme si les corps s’attirent en raison directe de leurs masses et en raison inverse du carré de la distance. » Le « tout se passe comme si » laissait subsister le mystère sur la loi de Newton, et jusqu’à M. Einstein, rien ne nous avait permis de soulever le voile. Nous n’allons pas prétendre que l’explication donnée par ce maître de la physique moderne supprime tout le mystère ; mais en tous cas la gravitation est entrée dans la synthèse physique et voici comment.

On croira avec peine que les deux difficultés, soulevées tout à l’heure, ont été résolues en les identifiant. Mais l’exemple de l’ascenseur nous amènera à saisir les analogies.

Supposons que le physicien soit enfermé complètement dans la cage de l’ascenceur, sans communication aucune avec l’extérieur. Imaginons qu’il fasse des expériences sur la chute des corps avec le désir de connaître le mouvement de sa prison. Il constate que les corps tombent dans l’ascenseur avec une accélération de 9,81 m ; que dira-t-il ? Il a le choix entre deux hypothèses : ou bien il supposera qu’il existe un champ de gravitation qui fait que les corps sont attirés vers le bas de l’ascenseur, l’intensité de ce champ étant 9,81 m ; ou bien il n’existe pas de champ de gravitation et c’est l’ascenseur qui a un mouvement accéléré vers le haut ; l’accélération étant constante et égale à 9,81 m.

On voit déjà par ce premier exemple que les effets d’un champ de gravitation sont les mêmes que les effets dus à une accélération convenable du système de référence dans une région privée de champ.

On peut imaginer d’autres exemples. Supposons que la corde de l’ascenseur casse. Voilà notre laboratoire ambulant réduit à un boulet de Jules Verne dont les habitants — comme dans celui-ci — n’auront pas la sensation d’être pesants. Si le physicien lâche un caillou sans vitesse initiale dans son laboratoire, il le verra rester au point où il l’a mis. Il dira alors que le champ de gravitation est détruit ; mais un observateur extérieur sait bien à quoi s’en tenir ; la destruction du champ de gravitation n’est dû qu’à un état convenable de l’accélération du système. Nous sommes amenés à formuler le principe suivant dit principe d’équivalence : Les effets d’un champ de gravitation sont les mêmes que ceux qu’occasionneraient un mouvement accéléré convenable du système de référence par rapport à l’espace occupé par le champ, ce champ étant supposé supprimé[5].

Un exemple plus frappant encore est le suivant : Les aviateurs perdus dans les nuages ne peuvent déceler leur position par rapport à la terre ; ont-ils la tête en bas ou sont-ils dans une position normale ? Rien ne leur permet d’en décider si leur accélération est suffisante ; leur corps exerce une réaction normale sur le tond de l’appareil et ils ont l’illusion d’être dans leur position habituelle ; le niveau d’eau leur indique une horizontale à peu près parallèle au fuselage et les objets qu’ils lâchent dans la cage tombent au fond de celle-ci. L’aviateur peut donc prétendre qu’il est dans un champ de gravitation dont les lignes de force sont perpendiculaires au fond de la cage. Or survienne une déchirure de la nue, il reconnaît la terre et s’aperçoit que le champ de gravitation qui l’applique sur le fond de son appareil est tout à fait différent de celui qui fait tomber les corps vers le centre de la terre. Il redresse vivement son appareil, tout en se rappelant que ce sont les forces centrifuges qui l’ont induit en erreur. On voit donc bien par cet exemple qu’un certain état d’accélération, celui que crée le vol acrobatique, entraîne des effets identiques à ceux d’un champ de gravitation ; le principe de M. Einstein se comprend donc aisément. Nous confondrons dorénavant les mots champ de gravitation ou état d’accélération.

Il restait alors à M. Einstein, à écrire les équations du champ de gravitation. Il y arriva par une suite de raisonnements dont on peut donner une idée synthétique de la manière que voici :

Le monde physique est une multiplicité à 4 dimensions. Minkowski avait montré que là, où l’on ne voit que des phénomènes électromagnétiques ou optiques, c’est-à-dire là où la relativité restreinte est applicable, la multiplicité est de courbure nulle. M. Einstein suppose alors que la relativité restreinte est vraie dans les régions où le champ de gravitation est nul, soit dans le boulet de Jules Verne en chute libre. Il admet ensuite que, si le champ de gravitation n’est pas nul, c’est que la courbure de l’univers n’est pas nulle, autrement dit il admet que le champ et la courbure sont fonction l’un de l’autre. Or l’expérience nous apprend que les champs de gravitation sont dus à la présence de matière et à l’état de mouvement de cette matière ; elle nous apprend aussi que, dans une première approximation, la loi de Newton explique presque tous les phénomènes célestes. Donc la courbure de l’univers dépendra de la distribution des masses dans les régions étudiées ; mais cette courbure détermine la métrique — en quelque manière — la géométrie de notre multiplicité universelle. Nous devons donc admettre que la géométrie n’est plus un filet, ou mieux un réseau, par rapport auquel on situe les points matériels, mais bien plutôt il faut admettre que c’est la distribution de la matière qui crée le réseau géométrique. C’est bien là une nouvelle conception des rapports de la géométrie avec la physique ; et nous pouvons dire en passant qu’elle apporte une contribution importante au problème que se posent les mathématiciens philosophes concernant la validité de la géométrie.

La distribution de la matière détermine, avons-nous dit, la courbure de l’univers en chaque point ; il s’agit de voir comment cette détermination se fait. M. Einstein veut que ses équations satisfassent encore à d’autres conditions qui sont : le principe de la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement, que l’expérience trouve partout vérifié, et enfin : le principe d’invariance qui n’est autre chose que le principe de la relativité du mouvement et qu’on énonce ainsi : Les lois de la physique doivent être formulées par des observateurs différents — animés de mouvements relatifs aussi variés que l’on veut — d’une manière telle qu’il leur soit impossible par des expériences faites à l’intérieur du système de référence de déceler leur mouvement.

Il est curieux de voir qu’avec tous ces desiderata accumulés, on peut obtenir des équations parfaitement cohérentes. On trouve, que les éléments de la courbure, introduits par Riemann et les grandeurs physiques, dites tenseurs généralisés sont précisément les instruments analytiques[6] satisfaisant aux conditions posées plus haut. Les équations sont écrites ; la synthèse est achevée. Il ne reste plus qu’à en tirer des conséquences, les mettre à l’épreuve de l’expérience pour voir si la théorie est bonne et féconde. C’est ce que M. Einstein fit immédiatement.

Mes auditeurs ne me pardonneraient pas si, après les avoir traînés dans l’abstraction, je ne leur racontais pas les confirmations expérimentales de la théorie.

Si l’on applique les équations de M. Einstein au système solaire, on remarque tout d’abord que leur résolution approximative redonne tous les résultats classiques de la mécanique céleste. Une résolution plus serrée nous permet d’affirmer entre autre que l’orbite elliptique des planètes tourne elle-même d’une quantité, qui pour certains astres de notre système solaire, n’est pas négligeable. Je m’explique. On sait que l’orbite d’une planète, telle que la donne la loi de Newton, est une ellipse dont le soleil occupe l’un des foyers, cette ellipse étant fixe par rapport au soleil. Or cette fixité disparaît dans la mécanique einsteinienne ; l’ellipse elle-même tourne autour du soleil. Ce déplacement de l’orbite est appréciable pour Mercure ; il vaut 43″ par siècle. Leverrier et ses successeurs avaient, en vain, cherché à expliquer cette anomalie que la mécanique newtonienne ne prévoyait pas. Or, la théorie de M. Einstein donne — par un calcul qui n’a rien de mystérieux — 42″,9 par siècle. La confirmation est excellente.

Une deuxième conséquence des théories relativistes, c’est que l’énergie, tout comme la matière, est pesante. Un rayon lumineux transportant de l’énergie subira donc les influences des champs de gravitation qu’il rencontrera. De même que la trajectoire d’un caillou lancé par une fronde est courbée, de même le rayon lumineux sera courbé s’il traverse un champ de gravitation. Le champ terrestre est trop faible pour que la déviation soit appréciable. Seul le champ solaire est assez grand pourvu encore que le rayon passe dans le voisinage immédiat du disque du soleil. Supposons une étoile située sur la sphère céleste, près du disque solaire. Le rayon qu’elle nous envoie sera courbé de sorte qu’on ne verra pas l’étoile, là où elle est exactement, mais dans une position légèrement éloignée du disque solaire.

L’inconvénient pour mener à bien de telles observations provient de ce que le soleil est trop lumineux et qu’il empêche de voir les étoiles situées dans son voisinage. Mais lors d’une éclipse totale de soleil, on sait bien que les étoiles sont visibles. Il suffira de les observer rigoureusement ; l’écart entre la position bien connue de l’étoile et la position observée donne la déviation. Ce que la théorie de M. Einstein prévoyait a été vérifié lors de l’éclipse totale du 29 mai 1919.

D’autres conséquences astronomiques ou astrophysiques sont à l’étude ; l’une concerne le déplacement des raies spectrales[7] et l’autre le 5e satellite de Jupiter.

La remarquable synthèse de M. Einstein a ainsi légitimé d’une façon éclatante sa raison d’être.

Un des plus éminents mathématiciens allemands. M. Weyl, professeur à Zurich, ne s’est pas encore trouvé satisfait par la synthèse de M. Einstein. Après avoir déduit les équations de la gravitation M. Einstein peut écrire les équations de Maxwell généralisées ; en quelque manière, celles-ci dépendent du champ gravifique ; mais elles comportent un élément nouveau qui est la force électrique. En d’autres termes, les manifestations de cette force électromagnétique dépendent en quelque sorte de la métrique de l’univers, c’est-à-dire de la gravitation, mais son existence est un élément irréductible à la gravitation. M. Weyl a cherché à voir s’il n’était pas possible de rattacher encore le potentiel électromagnétique à des considérations analogues à celles qui avaient permis à M. Einstein de maîtriser la gravitation, c’est-à-dire à des considérations où la métrique seule intervient. Il y est parvenu en complétant sur un point échappé à la perspicacité de Riemann, les théories de l’illustre élève de Gauss.

Pour M. Weyl, la géométrie de Riemann n’est pas une géométrie parfaitement différentielle, elle contient encore un élément global, je dirais mieux, un élément d’action à distance. Je n’y insiste pas davantage ; il s’agit tout simplement de la notion de déplacement parallèle et congruent d’un segment d’un point à un autre ; en introduisant là aussi des définitions conformes à l’esprit de la géométrie différentielle, M. Weyl a montré que les équations électromagnétiques peuvent être déduites de considérations purement géométriques. Or le champ électromagnétique dépend de la distribution de la matière ; ici encore la métrique de l’espace est créée par des phénomènes physiques. Plus précisément la géométrie de l’univers n’est plus une science échafaudée apriori, elle est intimement liée à la physique ; on peut même dire qu’elle se confond avec elle.

La physique entière est issue de la métrique, c’est-à-dire de la géométrie infinitésimale. Celle-ci, d’autre part, se forge à partir de l’expérience. L’union indissoluble de la géométrie, de la cinématique, de la dynamique et de la physique se trouve achevée. Pour conclure, nous en tirerons quelques conséquences relatives à la philosophie naturelle.

Descartes s’était proposé comme but à ses études physiques, de réduire l’explication des phénomènes à la figure et au mouvement. Les efforts pour l’atteindre, au fur et à mesure qu’ils semblaient se couronner de succès par l’ensemble des lois découvertes, laissaient par ailleurs s’introduire dans la synthèse scientifique des notions irréductibles à l’idéal cartésien. C’était l’attraction avec sa mystérieuse action à distance, c’étaient les nombreuses qualités de l’éther, c’étaient les principes de la thermodynamique, rebelles au mécanisme, c’était telle ou telle propriété mystérieuse de l’électricité ou du magnétisme.

De nombreux physiciens, et non des moindres, devant ces échecs successifs renonçaient à ce mécanisme que Pascal déjà avait condamné.

Duhem est le plus important représentant de cette école dite énergétiste ; pour lui, la physique devait se borner à être une narration pure et simple des manifestations diverses de ces qualités irréductibles que l’on voyait chaque jour devenir plus nombreuses. À chacune d’elles correspondait un moule mathématique, qui ne pouvait en aucun cas, lui être substitué au point de vue explicatif.

C’était manifester un scepticisme un peu exagéré ; mais au point où la physique en était alors, c’était là une attitude prudente et en somme justifiée.

Avec M. Einstein et M. Weyl, on réalise le rêve de Descartes, on le dépasse même. En effet la physique n’est plus que l’étude purement géométrique du continu à quatre dimensions dans lequel une métrique et un étalonnage sont déterminés une fois pour toutes ; tout est réduit à l’élément figure. Le mouvement même s’y réduit puisque d’une part le temps ne peut plus se distinguer des trois coordonnées spatiales et que d’autre part, l’étude des différents mouvements est réduite à l’étude des lignes tracées dans la multiplicité quadridimensionnelle qu’est l’Univers.

Les théories de M. Einstein — donnant ainsi un regain de vie au cartésianisme physique le plus absolu, je dirais même le plus dogmatique — éclairent donc d’un jour plus vif le problème que pose la théorie de la connaissance relativement à la signification de la « Théorie physique » telle que l’imaginait Duhem.

Elles nous donnent aussi une solution — qu’on peut discuter, il est vrai, mais qui n’en est pas moins poussée très loin — d’un problème du même ordre pour le philosophe, je veux dire le problème des fondements de la géométrie. Cette solution ne remplace pas purement et simplement, les vues d’un Poincaré, d’un Hilbert ou d’un Russell ; elle les complète en faisant voir comment la géométrie s’insère et s’imbrique dans le réel.

Enfin les théories de la relativité, quand on les développe comme j’ai cherché à le faire ici, nous apprennent une fois de plus comment les progrès se font en science. S’il est vrai que certaines de nos manières de concevoir le réel sont bouleversées par les conquêtes de M. Einstein, il n’en est pas moins vrai que c’est par un élargissement lent et graduel du cadre des théories précédentes que les nouvelles idées se sont fait jour. Le génie, malgré toute son audace, ne peut s’affranchir en science, des résultats obtenus et des théories admises ; néanmoins, M. Einstein a su faire faire des pas de géants à la physique contemporaine et la synthèse qu’il nous présente avec M. Weyl, est l’une des plus magnifiques qu’il ait été donné à l’esprit humain de contempler.

Elle force l’admiration de qui veut se donner la peine de l’étudier ; vous l’ai-je bien fait saisir dans ses principes ? Je ne sais. Mais j’espère que la magnificence des paysages, entrevus peut-être bien imparfaitement, aura créé chez quelques auditeurs un frisson d’enthousiasme ; c’était là mon dessein : qu’il lise alors les mémoires originaux !


  1. ↑ La plus célèbre est celle de Michelson et Morley.
  2. ↑ Le lecteur s’apercevra aisément que nous entendons dans tout ce qui suit, par métaphysique, la nature et le caractère d’hypothèses invérifiables par l’expérience.
  3. ↑ Cette obligation découle d’une conséquence immédiate des calculs relatifs à l’expérience de Michelson et Morley.
  4. ↑ Pour être plus clair, imaginons un plan ; traçons-y deux axes rectangulaires ; il est bien évident que si l’on tourne ces axes d’un angle quelconque, les lois géométriques qui expriment les propriétés d’une figure à deux dimensions ne seront pas altérées.
  5. ↑ Une raison profonde bien connue des physiciens, qui donne à ce principe une base expérimentale solide, c’est l’identité de la masse pesante et de la masse inerte, identité vérifiée au dix-millionième par Eötvös.
  6. ↑ C’est surtout à MM. Ricci et Levi-Civita que l’on doit ces méthodes de calcul.
  7. ↑ On sait que la position des raies spectrales caractérise la fréquence de certains mouvements vibratoires intra-atomiques ; le champ gravifique où se trouvent ces particules vibrantes exerce une influence sur cette fréquence ; par suite deux atomes d’un même corps placés dans deux champs gravifiques différents émettront des vibrations différentes ; leurs raies spectrales auront donc des positions différentes.
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