Introduction et conseils pratiques sur la constitution et le rôle des mathématiques générales

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Introduction et conseils pratiques sur la constitution et le rôle des mathématiques générales
Préface de H. BOUASSE et E. TURRIÈRE Exercices et compléments de mathématiques générales


[I]

INTRODUCTION ET CONSEILS PRATIQUES

SUR

LA CONSTITUTION ET LE RÔLE DES MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES



L’ouvrage que M. Turrière et moi offrons au public diffère, par sa forme et son esprit, des ouvrages similaires, à tel point qu’il est nécessaire d’exposer les principes auxquels nous avons obéi. C’est au bon sens de l'étudiant que nous nous adressons. Au surplus, l’étude d’un cas particu­lier nous amène à édifier le système pédagogique convenable à la majorité des jeunes gens qui suivent les Cours de nos Facultés ; il nous permet de définir en quoi consiste la CULTURE GÉNÉRALE SCIENTIFIQUE, dont on parle beaucoup sans guère prendre la peine d’y réfléchir.



À mesure que la SCIENCE PURE se développe, elle se différencie en sciences distinctes, qui évoluent ensuite de manières indépendantes. Elles constituent ce qu’on appelle quelquefois des « disciplines particu­lières ».

Travaillées par des spécialistes peu nombreux, mais qui lui consacrent leur existence entière, chacune de ces spécialités oublie bientôt ses ori­gines, son but initial, son utilité et ses applications. Les méthodes qu’elle adopte sont les meilleures pour son développement propre ; mais elles diffèrent des méthodes les plus favorables au développement des sciences pures spécialisées voisines.

C’est ainsi que la Dynamique abstraite a cessé d’être l’étude des forces en tant qu’elles produisent le mouvement, pour devenir Je développe­ment de certaines équations. Les mots expérimentaux sont restés comme des vestiges de l’ancienne Dynamique ; l’esprit n’est pas demeuré le même.

À Dieu ne plaise que je blâme, dans la science pure comme dans la technique, une spécialisation nécessaire au progrès ! Il est heureux que

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des hommes consentent à se mettre des œillères théoriques ou indus­trielles, et tracent un sillon profond, dussent-ils ne plus voir le sillon voisin !

Mais le problème est de savoir dans quelle mesure les SCIENCES PURES SPÉCIALISÉES restent matière à enseignement pour la majorité des étu­diants. La question scientifique se double d’une question économique et sociale.

Pour spécialisée que soit une discipline, convenons qu’elle a droit à l’existence non seulement livresque, mais budgétaire ; il est bien qu’elle soit représentée dans quelque Faculté par un professeur, devrait-il parler devant un très petit nombre d’étudiants. On lui fournit par ce moyen une raison de composer un cours, de mettre en forme la science qui l'occupe, de créer une tradition.

Mais je crois d’une mauvaise pédagogie d’inciter la majorité de nos élèves à l’étude des sciences pures spécialisées.

Par exemple, de ce que la Cinématique a droit à l’existence, il ne suit pas que nos étudiants tireront profit d’un cours annuel où défilera plus de Géométrie pure que de Cinématique applicable. Il est inutile de les initier à des méthodes excellentes pour le développement de la discipline en question, mais qui ne sont utilement applicables ni aux disciplines voisines, ni même aux applications de la première.

Quelques professeurs disent avec conviction : « Qui peut le plus peut le moins ! » Admirable pédagogie de prendre un marteau pilon… quand il s’agit de scier une planche !

En majorité, les étudiants actuels sont de futurs ingénieurs ils se des­tinent aux carrières industrielles (privées ou publiques) où la science est nécessaire. Ils voient dans la science, non pas un sujet de méditation, mais un outil ; ils ne s’intéressent qu’à son aspect économique. Ils con­çoivent l’enseignement supérieur comme éducatif assurément, mais comme tout autre chose qu’une discussion de mandarins.

Ils s’aperçoivent vite que les SCIENCES PURES SPÉCIALISÉES entraînent une dépense exagérée de temps, pour un profit d’un autre ordre et trop chèrement payé. Ils constatent que les procédés avantageux pour le développement propre de ces disciplines perdent leur précellence dans les applications, du fait même de leur trop grande généralité.

Ils ne se refusent pas à des études théoriques, pourvu qu’elles soient rémunérées par une plus grande puissance intellectuelle dans leurs futures occupations ; ils ne croient plus à l’efficacité des exercices d’assouplissement indéfiniment répétés.

Bref, ILS EXIGENT QUE L’ON ÉTABLISSE POUR EUX UNE SCIENCE GÉNÉRALE, EXACTEMENT APPROPRIÉE À LEURS BESOINS, AUSSI ÉLEVÉE QU’ON VOUDRA, MAIS AYANT DES RAPPORTS ÉVIDENTS AVEC LES TRAVAUX QUI SERONT LEUR GAGNE-PAIN.

En dehors des Sciences pures spécialisées et au moyen de leurs résultats, est-il possible de constituer une ÉDUCATION SCIENTIFIQUE GÉNÉ-

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RALE ? La réponse à cette question est la justification de l'ouvrage que nous offrons au public.



Ces questions devraient être depuis longtemps résolues, mais elles butent contre un écueil que je ne me lasserai pas de signaler : l’absence d'une critique scientifique constituée comme la critique littéraire, ayant des doctrines et les défendant ; entreprise au surplus très facile, parce que moins subjective.

On ne résout un problème qu'on fournissant un énoncé et qu'en cher­chant une solution. Mais si, pour une raison quelconque, on décerne des éloges identiques simultanément à des solutions contradictoires, il est clair que la question n'avancera pas d'une semelle et que la confusion s’épaissira. Certes, je suis infiniment loin de me plaindre des comptes rendus dont mes livres ont été l’objet ; mais comme, dans les mêmes recueils, les tendances absolument opposées étaient louées parfois dans les mêmes termes, je suis arrivé à considérer les louanges avec quelque scepticisme.

Cette absence de doctrines ou cette peur de les montrer sont nuisibles. Quand on a défini les étudiants qu'on vise, les qualités qu’on veut déve­lopper chez eux, la méthode à suivre s’impose et elle est unique. En conséquence, je m'efforce de transporter les questions pédagogiques hors du cercle restreint des spécialistes, devant l'étudiant, impuissante vic­time de nos erreurs. Il faudra enfin comprendre que des ouvrages très dissemblables peuvent être simultanément excellents s’ils s’adressent à des publics différents, mais que, pour le même public et pour atteindre le même but, il n’est pas trente-six procédés.

Au surplus, si je me trompe, qu’on le dise. Comme l'énonce admira­blement Bacon : « L’erreur est bien moins à craindre que la confu­sion ! »



Donc il faut constituer une CULTURE GÉNÉRALE SCIENTIFIQUE. Pour qu’on ne voie pas dans ces mots un reniement des opinions que j'ai tou­jours défendues, je déclare qu’elle n’a rien de commun avec le P. C. N. et autres enseignements superficiels dont nos modernes philosophes sont étrangement fiers.

Les sciences pures spécialisées sont parfois nommées « disciplines par­ticulières », à cause du peu d’étendue de leur objet ; elles rachètent en profondeur ce qu’elles perdent en surface ; elles traitent donc leur objet dans son détail et sa généralité. La Science générale que nous croyons indispensable à la majorité des étudiants est, NON PAS SUPERFICIELLE, mais relativement très étendue en surface : elle perd naturellement en profondeur ce qu’elle acquiert d’un autre côté. COMME ELLE DOIT SE GAR­DER D’ÊTRE SUPERFICIELLE, elle se contentera d’étudier de ses multiples

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objets les aspects les plus simples et les plus concrets : en ce sens, elle s’occupe du particulier et du contingent.

Plus étendue, elle est moins compréhensive, tandis que les sciences pures spécialisées (disciplines particulières dans leur objet) sont moins étendues, mais plus compréhensives.

IL FAUT NOUS GARDER PAR-DESSUS TOUT D’ÊTRE SUPERFICIELS. Mais ce n’est pas pour nous un défaut que de limiter aux questions les plus expérimentales et les plus utiles les emprunts faits à chacune des sciences pures spécialisées.

Précisons par un exemple.

L’Astronomie est une science pure très spécialisée. Envisagée comm e telle, elle n’a d’intérêt que pour les astronomes de métier. Supposons utile de maintenir l’Astronomie dans notre Science générale : nous ne traiterons que quelques problèmes essentiels, que nous étudierons sans excès de rigueur formelle, mais avec tout le développement expérimen­tal nécessaire pour qu'on les entende bien et POUR QU’AU BESOIN ON LES APPLIQUE. Ces problèmes, nous les connaîtrons aussi complètement, voire plus complètement que les spécialistes qui les méprisent comme trop faciles.

On saisit maintenant l’erreur pédagogique de nos adversaires. Elle consiste, sous prétexte de culture GÉNÉRALE, à astreindra tous les étu­diants à l’étude de quelques sciences pures SPÉCIALISÉES. Celte spécialisation honnie par eux quand il s’agit des carrières industrielles, ils la réclament au profit de leurs propres occupations.



Les principes posés expliquent la genèse du présent ouvrage.

Les mathématiques pures se sont constituées en un très grand nombre dé sciences spécialisées, de disciplines particulières. Les connaître toutes est impossible. Cependant, pour la plupart, elles ont des parties appli­cables, elles résolvent des problèmes indispensables à la technique.

Jusqu'à présent en France on imposait à l’étudiant le détail de quelques-unes. Le résultat se prévoit aisément : des parties de la science qu’il était censé approfondir, il ne tirait aucun profit, parce que les méthodes propres à leur développement ne sont pas les plus favorables à l’application ; pour l’application, tout était à recommencer, dans un esprit différent. Des autres parties de la science il ne savait rien ; au moins avait-il conservé une virginité d’esprit qui lui rendait la besogne ultérieure plus facile !

Une pareille pédagogie ne pouvait durer ; on pensa qu’IL FALLAIT CRÉER UN ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE GÉNÉRAL. J’ai dit ailleurs ce qu’il advint de cette réforme sous l’impulsion des spécialistes, de ceux même dont il aurait fallu se défier expressément. Ils se méprirent sur les données fondamentales du problème et ne surent pas quitter bravement leurs habitudes.

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Dans chacune des sciences mathématiques particulières, il faut déterminer les propositions indispensables, et, sans souci des cadres tradition­nels, les élaborer suivant la méthode qui les rend le plus immédiatement assimilables.

Les matières conservées forment deux groupes. Les unes se disposent aisément en un Cours suivi ; elles constituent le « Cours de Mathéma­tiques Généraies » que j’ai publié en 1911. Les autres sont moins faciles à fondre ; M. Turrière et moi en avons composé les « Exercices et com­pléments de Mathématiques Générales » que nous offrons au public.



Une difficulté d’un autre ordre se présentait : le peu de temps dont disposent nos élèves.

Heureusement une remarque change la face de la question.

Pourquoi ne pas utiliser le temps consacré aux exercices à augmenter (sans presque qu’ils s’en doutent) les connaissances de nos étudiants ? Pourquoi ne pas proposer à leurs efforts personnels la recherche de pro­positions que nous, professeurs, savons ultra-classiques, dont il est impossible de surcharger leurs programmes, MAIS QUI LES FRAPPERONT ET RESTERONT DANS LEURS ESPRITS D’AUTANT MIEUX QU’ILS LES AURONT COMME REDÉCOUVERTES PAR LEURS PROPRES MOYENS ? S’ils Sont persuadés que les exercices résolus sont un acquit pour leur bagage scientifique utilisable, qu’ils forment un tout cohérent, ils seront plus disposés à les traiter patiemment à la file.

Double acquit et pour leur science et pour leur sagacité !

Conséquemment, alors que le principal souci des auteurs d’exercices est de prouver leur érudition par la nouveauté des problèmes qu’ils recueillent (tâche puérile puisqu’on peut évaluer à 25 000 le nombre des énoncés actuellement publiés), notre originalité est dans la manière d’ordonner des questions fort connues.

La malchance a voulu que, dans la plupart des recueils qui me sont tombés sous la main (inutile de dire que les matériaux utilisés par nous sont d’espèce bien différente), on ait mis une sorte de coquetterie à sup­primer tout lien entre les questions à résoudre. Il semble qu’on ait eu peur d’être accusé de publier un cours : nous aurions peur qu’on nous accusât de ne pas en publier un.

Mais la nature de notre cours est très particulière.

C’est un cours où nous laissons une grande partie de la besogne au lecteur. Nous lui montrons le chemin, le but à atteindre ; nous lui pré­parons le travail : à lui de combler les lacunes de nos raisonnements. Même quand sa part de découverte sera très réduite, il trouvera un profit considérable à mettre en forme, sans passer les intermédiaires, ce que nous indiquons seulement. Qu’il soit assuré que de ces solutions, il en comprendra plus tard l’utilité : sans crainte de perdre sa peine, il peut

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les mettre au net et les adjoindre au volume ; physicien ou ingénieur, il aura l’occasion de les utiliser plus tard.

Pour éviter que quelques-uns ne se récrient sur la forme inaccoutumée que nous donnons aux Exercices, examinons en quoi consiste un exer­cice. Il s’agit toujours de rétablir des intermédiaires entre des proposi­tions dont l’une résulte de l’autre, mais dont le lien n’apparait pas immé­diatement. On a supprimé un certain nombre des termes du sorite ; il s’agit de les retrouver.

Un auteur « difficile » en supprime beaucoup ; les cours qu’il écrit deviennent des recueils d’exercices. Un auteur « facile » ne fait grâce au lecteur d’aucun des intermédiaires ; malheureusement, pour ne pas devenir trop volumineux, il reste déplorablement vide, « Il n’est pas pédagogiquement bon d’être un auteur facile ; » la pensée n’est pas du moi : elle est commentée dans la préface du Traité des Quaternions de Tait, qui n’était pas un professeur méprisable.

Laissons les auteurs faciles aux philosophes qui veulent remplacer la science par la pédagogie : procédé commode pour être universel à peu de frais. Ici encore ma caution n’est pas bourgeoise. Parlant des vieux prêtres de Tréguier, ses premiers maîtres, Renan dit : « Sans rien de ce qu’on appelle aujourd’hui « pédagogie », ils pratiquaient la première règle de l’éducation qui est de ne pas trop faciliter des exercices dont le but est la difficulté vaincue ! » Que dirait-on d’un monsieur qui, pour s’entraîner aux courses à pied, prendrait indéfiniment l’auto­bus ?

J’imagine que les étudiants qui savent combien de peine est nécessaire pour devenir un « avant » passable au noble jeu de football, n’ont pas la prétention d’apprendre les mathématiques sans aucun effort. S’ils caressent cet espoir, je les engage à quitter la carrière scientifique. Au surplus, qu’ils ne s’y méprennent pas : ce qu’actuellement on leur enseigne sous le nom de Mathématiques Générales, EN RAISON MÊME DE L’ESPRIT DE CET ENSEIGNEMENT, ne leur servira de rien. C’est en connaissance de cause que je parie ; et si je prêche pour mon saint, c’est que mon métier m’a forcé de le choisir pour patron avant que l’idée me soit venue de lui élever une chapelle.

En définitive, nous écrivons un Cours, mais rendu plus difficile par la suppression des intermédiaires que nous laissons à découvrir. Nous don­nons toujours le résultat à moins qu’il ne soit évident. Pourquoi le cacher ? L’étudiant consciencieux aura bien assez de mal à le retrouver, à le dis­cuter. Connaître le résultat exact l'empêche de se contenter du premier résultat venu, tentation à laquelle il est trop enclin de céder.

Voilà donc expliqué le titre de cet ouvrage : ce sont des EXERCICES à résoudre au moins partiellement, dont l’ensemble constitue le COMPLÉMENT quasiment indispensable des connaissances contenues dans notre Traité de Mathématiques Générales.

Suivant la difficulté des questions, l’aide prêtée à l’étudiant est plus ou

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moins grande ; parfois nous lui laissons tout à faire, parfois nous donnons la réponse complète : on trouvera tous les intermédiaires.



Maintenant que sont définis le but et le plan de notre ouvrage, passons au détail de son exécution et montrons comment il faut l'utiliser.

Il s’agit, ne l'oublions pas, de faire de nos étudiants de bons manœuvres mathématiciens, sachant se servir d’un outil. Ce n’est pas â l'avance­ment des sciences mathématiques qu’ils se destinent. Il faut développer CHEZ EUX LA FACULTÉ DE RAISONNER DANS L’ABSTRAIT, MAIS À L'INTÉRIEUR DES LIMITES IMPOSÉES PAR LA PRATIQUE ET SUR DES PROPOSITIONS EFFECTIVEMENT UTILISABLES.

Nous voulons donc que le premier souci de notre lecteur soit de prendre du papier quadrillé, un crayon, des compas,… et de vérifier l’énoncé sur une figure correcte ou d'appliquer effectivement la méthode de construction prescrite par l’énoncé. Si, par exemple, nous avons insisté sur certaines propriétés du triangle, c’est bien pour géné­raliser des théorèmes élémentaires ; mais c'est surtout pour inciter notre lecteur à construire des figures qui portent en elles-mêmes leur propre vérification.

Après avoir considéré la figure obtenue, qu'il s'efforce d'utiliser les méthodes usuelles. Nous ne voulons pas médire des solutions « élégantes » qu’on trouvé par une sorte d'illumination ou qu'on reste de longues heures à poursuivre sans succès[1]. L'algèbre et la géométrie analytique ont été inventées pour fournir des procédés à la portée de tous, sans aléa, applicables par tout esprit moyen qui veut bien s’en donner la peine. Leurs solutions manquent souvent d’élégance ; mais n’imitons pas l'al­piniste qui méprise le sentier et grimpe à même la roche. Nous ne pré­ tendons pas transformer nos lecteurs en acrobates mathématiques.

Du reste, il existe une élégance propre à nos mathématiques utilitaires : une machine est belle qui est conforme à sa fin ; de même un calcul.



Pendant la rédaction de ce livre, j’ai tâché de me rendre compte de l’impression qu’il produirait sur des cerveaux non prévenus. Un profes-


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seur à l’École des Arts de Toulouse a bien voulu proposer bon nombre d’exercices à des élèves n’ayant jusqu’à présent que des connaissances peu étendues en Mathématiques, mais dont le sens mathématique n’avait pas été déformé par l’éducation reçue. Certes, ils n’ont pu résoudre que les parties graphiques et constructives des problèmes, mais ils y ont remar­quablement réussi ; ils s’y sont fort intéressés, ont trouvé nos méthodes naturelles et pratiques ; ils ont montré le désir de continuer ce qui leur semblait développer chez, eux une faculté essentiellement utilitaire d’ob­servation et d’abstraction.

Je dois à la vérité d’ajouter (ce n’est pas à l’honneur de notre enseigne­ment mathématique national) que je n’ai pu exciter le moindre intérêt, chez mes élèves de la Faculté. Ça leur est égal. Un problème qui n'est pas « algébrique » leur paraît au-dessous de leur science et de leur sagacité : résultat nécessaire de dix ans d’arguties, de verbiage et de subtilités logiques.

Ce résultat n’est pas pour me déplaire.

Comme je crois savoir ce qui est utile comme mathématiques à de futurs ingénieurs ou physiciens et ce qui leur est inutile, je suis heureux de constater qu’avec du bon sens, on comprend ce que je crois utile de comprendre.

Quant aux élèves de nos Facultés, la nécessité leur apprendra bientôt que connaître une courbe, c’est en avoir la figure et non l’équation ; mesu­rer une aire, c’est en avoir la surface en mètres carrés et non disserter sur une intégrale ; qu’un planimètre est plus commode qu’un développe­ ment en série et TOUT AUSSI SCIENTIFIQUE ; qu’une construction graphique est plus rapide que le calcul des coordonnées ET TOUT AUSSI MATHÉMA­TIQUE.



Nous commençons toujours par des cas particuliers. Quand l’étudiant a bien compris sur ces cas particuliers le sens de l’énoncé et la nature du problème, nous compliquons les applications.

Ai-je besoin de dire que c’est exactement le contrepied de la méthode actuellement en honneur, recommandée dans leurs livres par ceux qui veulent diriger notre enseignement ? Ils conseillent de résoudre les pro­blèmes en cherchant la formule générale, puis en la particularisant pour l’appliquer aux cas particuliers. Quand de tels conseils s’étalent dans leurs écrits, ils sont mal venus à dire qu’après tout, ils appliquent les méthodes que je préconise. Je ne les empêche pas de trouver absurde ce que je trouve excellent ; mais au moins qu’ils se rendent compte de la différence de nos opinions et de l’opposition dé nos méthodes ! Je n’ai l’espoir de les convertir qu’après qu’ils auront admis qu’il y a matière à conversion.

Que le lecteur ne s’étonne donc pas du caractère d’évidence des pre­mières applications proposées à la suite de l’énoncé des diverses

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méthodes de transformation. Lui sembler trop faciles, c'est preuve qu'il a bien compris ; il peut continuer en toute sûreté.



Il y a beaucoup de géométrie dans notre livre : ce ne sont que courbes à construire, propriétés de courbes à déterminer ! On ne doit pas oublier que si les courbes se représentent par des équations, les équations se représentent par des courbes ; que pratiquement l'utilisation des mathématiques dans les sciences appliquées consiste toujours à déterminer une fonction représentative des phénomènes, par suite à étudier une courbe. Faire de l’algèbre, c’est étudier une courbe ; intégrer une équation différentielle, c’est étudier un faisceau de courbes ; déterminer une surface, c'est encore et toujours étudier ses intersections par des plans conve­nablement choisis, par suite étudier des courbes.

Il n’en est pas ainsi pour les mathématiciens purs, d’abord parce qu’ils attachent une grande importance aux solutions imaginaires, ensuite parce qu'ils étudient souvent des fonctions de plus de deux variables. Pour nous, au contraire, par la nature du but poursuivi, les problèmes sont nécessairement restreints à ce qu’une courbe, ou un faisceau de courbes, peuvent représenter.

Au surplus, ces courbes nous offrent tous les genres d’exercices numériques qu’il est possible de rencontrer.



Nous attachons une importance extrême aux transformations des courbes en d’autres courbes (correspondance par points, correspondance de droites et de points,…), parce qu’aucun procédé ne fait mieux comprendre la notion d’OPÉRATEUR MATHÉMATIQUE.

L’étudiant effectue simultanément un calcul et une construction gra­phique ou mécanique qui s’équivalent : LES ALGORITHMES ALGÉBRIQUES NE SONT QUE LA REPRÉSENTATION D’UN GESTE MATÉRIEL. Il conçoit le rôle et l’utilité des mathématiques quand, l’opération graphique ou méca­nique devenant vaine pour quelque raison, il est conduit à chercher le résultat dans la discussion d’une formule : il comprend que les MATHÉMATIQUES SONT UNE MACHINE TRÈS PERFECTIONNÉE, MAIS UNE MACHINE.

Assurément les géomètres attachent une grande importance aux transformations ; avec insistance, ils tiennent leurs disciples sur les méthodes des polaires réciproques et des coordonnées tangentielles. Mais il existe, entre leurs transformations préférées et celles que nous utilisons, la même différence qu’entre notre but et le leur.

Leurs transformations sont des procédés de raisonnement : sauf dans des cas très particuliers, personne n’aura l’idée de tracer exactement les

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courbes qui en résultent, ou de réaliser mécaniquement les opérations. Au contraire, les transformations que nous employons n’exigent que de constructions élémentaires et d’une grande précision graphique ; ELLES SONT COMPRÉHENSIBLES PAR DES ÉLÈVES DE L’ÉCOLE PRIMAIRE.

De là résulte un changement complet de front dans la pédagogie.

Tandis que la règle est actuellement de donner l’équation d’une courbe et de la construire d’après son équation, nous la proposons généralement à l’étudiant comme résultat d’une transformation (matériellement réali­sable avec facilité) à partir d’une droite, d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse,… bref d’une courbe elle-même aisée à construire. C’est quand il possède la courbe (et de l’obtenir un bon élève de l’école pri­maire est capable, j’en ai fait maintes fois l’expérience), que nous le prions d’en donner l’équation qu’il utilisera pour l’étude de ses particularités (asymptotes, points d’inflexion, tangentes doubles,…). D’où pour son travail un caractère éminemment concret, une habitude de ne pas se payer de mots et le souci de l’exactitude matérielle. En définitive, il fait une expérience dont il calcule le résultat : il apprend son métier d'expé­rimentateur sur des exemples particulièrement simples.



Autre modification essentielle de la pédagogie : puisque nous attachons aux transformations tant d’importance théorique et matérielle, elles nous serviront naturellement de base pour notre classification. Certes, nous pourrions citer des ouvrages intéressants (les exercices de G. de Longchamps, par exemple) où se rencontrent toutes les transformations que nous utilisons. Mais elles y sont noyées parce que, l’auteur se faisant du rôle des Mathématiques une idée diamétralement opposée à la nôtre, ses classifications sont essentiellement différentes. En définitive, ce sont précisément les transformations qui sont le sujet de notre étude, parce qu’elles représentent les outils mathématiques. Nos devanciers étudiaient les propriétés des coniques, des cubiques,… à l'aide de ces transformations ; ce qui est un tout autre point de vue.

Un exemple montrera l’avantage de notre méthode, pour le but que nous poursuivons, cela va sans dire. Newton a découvert une transformation connue sous le nom d’hyperbolisme. Dans certains traités de Résistance des matériaux, la transfor­mation inverse, ou cette transformation inverse deux fois répétée, sont utilisées pour la détermination graphique des moments statiques et d’inertie des aires planes. C’est fort bien ; mais les lecteurs de ces traités ne voient dans la construction proposée qu’un artifice particulier. Si on la donne comme un procédé général, utilisable pour tracer des courbes célèbres (à partir desquelles on proposera des exercices numériques,…), on rend accessible à l’étudiant l’idée fondamentale de la transformation

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des courbes point par point, en même temps qu'on le familiarise avec une méthode très pratique de détermination des moments statiques ou d'inertie.



Nous exigeons de notre lecteur la connaissance d'un nombre très petit de théorèmes. Si nous devons en utiliser qu'il doit vraisemblablement ignorer, nous les proposons comme problèmes.

Que notre lecteur soit persuadé que ces exercices ne sont pas difficiles s'il consent à prendre du papier quadrillé, une table des carrés, des cubes,… des compas,… bref l’outillage indispensable, et se met bravement à la besogne. Qu'il procède comme s'il ne savait rien ; il sera joyeusement surpris de démêler peu à peu ce qui lui paraissait inextricable. Qu’il ne méprise pas les essais, les constructions, les tâtonnements ! Pourvu qu'on arrive au but, peu importe le terre à terre des procédés. Pour grimper sur un sommet, vous n'êtes pas admirable par le seul fait de choisir le chemin le plus difficile : si l'on vous rapporte sur une civière, vous serez bien avancé ! Que notre lecteur se méfie de ceux qui prétendront nos exercices trop difficiles pour lui : c'est pour eux qu’ils sous-entendent. Ils ont leur train train ; ils sont furieux qu'on les dérange. Ils savent leurs exercices par cœur ; ça les ennuie d'en préparer d'autres.

La vraie difficulté de nos problèmes est que nous en exigeons la solu­tion détaillée avec courbes à l’appui et détermination numérique des points principaux. Que notre lecteur s’accoutume à l’idée qu’il faut beaucoup d’heures, parfois de jours, pour discuter un problème d’allure facile. Qu’il ne s’impatiente pas ; il n’est nullement nécessaire de résoudre une centaine de problèmes : un petit nombre bien étudié constitue un effort plus profitable. Des problèmes ÉBAUCHÉS AU TABLEAU, EN QUELQUES MINUTES, SONT NUISIBLES ; ILS ACCOUTUMENT À SE CONTENTER DE L’À PEU PRÈS, LE PLUS SOUVENT DE L’ERREUR.



Il va de soi que tous les calculs de longueurs d’arcs doivent être vérifiés au moyen du curvimètre ; tous les calculs d’aires doivent être vérifiés par des méthodes usuelles (pesées, planimètres) ; BREF IL FAUT QU’ON UTILISE LES APPAREILS.

Nous avons besoin de bons manœuvres mathématiques, sachant user des outils mathématiques ; il est clair qu’ils doivent avoir ces outils entre les mains. Personne n’est tenu d’enseigner les mathématiques générales ; mais, si l’on accepte cette mission, il faut se conformer à ses exigences. Au surplus, les étudiants, éclairés par nous sur leur intérêt, sauront bien imposer ce qui est indispensable à leurs futurs métiers ; on finira par obéir à leurs justes réclamations et par abandonner les nuages.

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À quel moment du Cours de Mathématiques Générales faut-il commencer les exercices ? Si l'on ne possède même pas la notion de fonction, de dérivée,… le plus sage est d’apprendre son Cours, EN REFAISANT SANS L’AIDE DU LIVRE PLUSIEURS FOIS TOUS LES CALCULS. Ce sont de bien piètres étudiants qui réclament des problèmes, lorsqu’ils sont encore incapables de résoudre ceux qui constituent les questions du Cours. Il faut commencer par le commencement. C’est quand l’étudiant possédera les dix premiers chapitres du Cours de Mathématiques Générales que les exercices deviendront indispensables. Jusque-là, il peut s’essayer aux constructions de courbes (Chapitre III du présent volume) ; mais l’outil lui manquera souvent. Imaginer de petits exercices qui suivent pas à pas les chapitres d’un livre est contraire aux principes mêmes qui nous guident. Nous le répétons : que l’étudiant se donne comme problème de retrouver au bout de quelques jours les théorèmes de son Cours : cela vaudra mieux pour ses débuts que des chinoiseries du reste faciles à combiner. Nous nous adressons aux étudiants laborieux ; quant aux autres, ils n’ont aucune importance.



Voici quelques conseils matériels.

On se servira commodément de papier blanc divisé en carrés de 5 millimètres de côté, ayant environ 37x47 centimètres et coûtant environ 80 centimes la main. On le demandera non plié, la cassure du milieu ne permettant pas l’emploi commode de la feuille entière. On tracera toutes les courbes à la plus grande échelle possible. Les figures de ce livre ont été exécutées avec beaucoup de soin par moi-môme, à l’aide des méthodes quelles doivent illustrer ; mais comme elles devaient être fortement réduites, certains de leurs détails sont délibérément faussés. Le lecteur les considérera comme des schèmes, des poteaux indicateurs servant à guider ses recherches.

Il est utile que le lecteur s’exerce au tracé des courbes à main levée ; cependant on ne doit pas proscrire les pistolets dont on lui fournira un jeu suffisant. Il est préférable d’utiliser un tire-ligne et de l’encre de Chine ; mais comme l’habileté professionnelle du dessinateur n’est pas notre principal objectif, comme il faut compter avec le temps nécessai­rement limité, l’étudiant pourra se servir de sa plume et d’encre ordi­naire, même pour tracer des courbes le long d’une règle ou d’un pis­ tolet.

N’oublions pas l’éternelle distinction entre la technique et l’expérience : un dessin peut être propre, correct, représenter très bien le résultat d’une discussion, et cependant ne pas mériter de figurer sur les murs

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de l'atelier d’un architecte. Exigeons d’abord des étudiants de ne pas dessiner comme des araignées trempées dans l’encre et errant sur du papier : ensuite il sera temps de leur imposer un diplôme de dessinateur expert.

Pour ne pas quitter cet ordre d’idées, répondons à ceux qui accusent le papier blanc quadrillé de ne pas être absolument correct, en compa­rant deux dessins construits DANS LE MÊME TEMPS sur papier quadrillé et sur papier non quadrillé :

Faites l’expérience ; nous en reparlerons ensuite.

Faut-il répéter que les deux tables essentielles, vade mecum de tout, étudiant, sont une table des carrés, cubés, racines carrées et cubiques, inverses, de 1 à 10 000, et une table de sinus, cosinus… naturels. La table de logarithmes ne vient qu’en troisième lieu (ou en quatrième) ; les calculs par logarithmes sont longs. Dans une infinité de cas pratiques, on s’en passe très avantageusement.

La table des carrés,… permet de trouver les puissances 2, 4, 8,… 3, 9,… 6, 12, 18,… Elle permet d'extraire les mêmes racines.

Outre que l'emploi de la table des lignes trigonométriques naturelles évite de grossières erreurs d’ordres de grandeur, c'est généralement par leurs valeurs naturelles que les lignes se présentent dans les constructions de courbes.

La table de logarithmes à cinq décimales est largement suffisante pour tous les emplois pratiques connus. Laissons les astronomes ignorer la quatrième décimale et calculer la vingtième : la plupart de leurs résul­tats n’ayant aucune importance pratique, il en est de même de leurs erreurs.

Je me plais à recommander l’excellent recueil de MM. Jahnke et Emde : Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, 1909, Teubner, Leipzig. Les chiffres et les symboles mathématiques étant les mêmes des deux côtés du Rhin , que le lecteur ne s’effraie pas du titre allemand.

.le suis heureux de signaler l’ouvrage de M. J. Escard, ingénieur civil, sur l’’’Outillage technique et pratique du dessinateur industriel’’ (Dunod). Nos professeurs de Mathématiques tireront grand prolit de sa lecture.



Je ne puis passer sous silence la question des ‘’opérations abrégées.’’

Les opérations abrégées sont une erreur pratique et pédagogique. Péda­gogique, parce que nous avons bien assez de règles à retenir sans encore en ajouter pour réaliser des calculs faux ; pratique, parce que celui qui a beaucoup d’opérations à effectuer, méprise avec raison ces procédés lents ; il a d’autres moyens à sa disposition.

EN PARTICULIER, IL A DES TABLES DE MULTIPLICATION.

Certes, je ne veux pas me donner le ridicule de critiquer les loga-

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rithmes. Mais il faut que le lecteur sache qu’on ne les emploie jamais pour effectuer des multiplications et des divisions. C’est long, déplorablement long. Les logarithmes servent à élever aux puissances fraction­naires ; ils sont souverains dans ce cas ; mais convenons qu’on n’a pas tous les jours à élever aux puissances fractionnaires.

Les vraies tables du calculateur sont celle de Crelle et celle de Peters, l’une et l’autre éditées chez Georg Reimer, Berlin. Elles valent chacune une vingtaine de francs ; ce sont des merveilles d’arrangement typo­graphique.

La table de Crelle donne à VUE les produits des nombres de 1 à 1000 par les facteurs de 1 à 1000. La table de Peters donne à vue les produits des nombres de 1 à 10-000 par les facteurs de 1 à 100.

Il me semble que pour les physiciens et les ingénieurs, la seconde est plus commode ; les astronomes préfèrent la première. Un laboratoire bien outillé les possédera l’une et l’autre.

Raisonnons sur la seconde. Pourvu qu’un des facteurs ait quatre chiffres au maximum, on obtient le produit par l’addition d’autant de nombres qu’il y a de tranches de deux chiffres dans le grand nombre pris comme multiplicateur.

Soit, par exemple, à multiplier 6343 par 79.87.22. La table donne À VUE :

6343 x 22= 139546

6343 x 87= 551841

6343 x 79= 501097


D’où le produit :

                          501097
                              551841
                                  139546 
                        Modèle:——————
                           5066293646

En quelques secondes, le calculateur le moins exercé arrive au résultat sans entrainement préalable. On remarquera que le livre restant ouvert à la même page, on a les produits d’un nombre de quatre chiffres par des nombres quelconques compris dans les limites énoncées.

Pour la division, il suffit de multiplier par l’inverse du diviseur.

Or, ne l’oublions pas, quatre chiffres c’est l’approximation du dix millième, jamais réalisée dans les expériences ordinaires ; c’est donc plus qu’il n’en faut.

Qu’après cela on veuille bien cesser de nous parler des opérations abrégées, des logarithmes (sauf le cas précité), et de la règle à calcul réservée pour le terrain.

Si vous rencontrez une multiplication ou une division tous les 36 du mois, opérez par la bonne méthode à la papa. Si vous avez un grand nombre de calculs à effectuer, achetez des tables de calculs tout faits : croyez-moi, c’est encore plus rapide que de les faire

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Quelques mots sur le 'calcul mécanique et le tracé mécanique des courbes.

Le nombre des machines inventées pour résoudre mécaniquement les équations, effectuer mécaniquement des calculs,…… est prodigieux. De toutes ces machines, trois genres sont passés dans la pratique : les machines à additionner (par suite à soustraire, à multiplier et à diviser), les machines à intégrer, enfin les analyseurs harmoniques. Les autres sont restées à l’état de curiosités. La raison bien simple est qu'elles sont trop particulières pour valoir le prix d’une construction généralement trop complexe.

De même, une infinité de courbes peuvent être tracées mécanique­ment. Mais j’estime que c'est une duperie de fonder des exercices sur des machines que l'étudiant ne peut pas construire lui-même, sinon pour rien, du moins pour quelques sous. Au point de vue auquel nous sommes placés, c'est une plaisanterie de parler de transformations par polygones articulés, par exemple, de 27 tiges. Huit tiges sont un maximum qu'il est impossible de dépasser : cela correspond au losange de Peaucellier, plus deux tiges.

Qu’on ne s’étonne donc pas de l’absence d’une kyrielle de machines à décrire des courbes. C’est sciemment que.nous les laissons de côté et leur préférons des constructions graphiques avec la règle et le compas. Nous laissons aux mathématiciens en mal d’applications…… théoriques, les machines qu'on ne peut construire. Pas une construction n’est indi­quée dans ce livre qui n’ait été effectuée par moi-même, pour juger du temps qu’elle prend et de la facilité d’exécution. J’avoue que le fonctionnement simultané de deux losanges de Peaucellier, construits avec des moyens de fortune, peut faire admirablement dans un Cours de Cinéma­tique : qu'on essaie d'obtenir un résultat, on déchantera.

Or, pour discuter intelligemment une courbe, il faut l’obtenir correcte.

H. BOUASSE.
  1. À Louis-le-Grand, en 1883, nous étions 64 dans une des divisions de la classe de Philosophie. On nous donnait des problèmes de géométrie que nous étions deux ou trois élèves capables de résoudre, en y consacrant trois jours par semaine ! Je laisse à penser l’intérêt que les 61 élèves restants prenaient à ces exercices. Quand ils étaient atteints d’un accès de zèle, ils copiaient la solution sur l’un de nous. Ne serait-il pas plus intelligent et plus utile de choisir des problèmes se rattachant à des méthodes géné­rales, conséquemment applicables par le plus grand nombre ? Qu’on relise Petersen ! il en vaut toujours la peine.