L’Encyclopédie/1re édition/EXHAUSTION

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

EXHAUSTION, s. f. terme de Mathématiques. La méthode d’exhaustion est une maniere de prouver l’égalité de deux grandeurs, en faisant voir que leur différence est plus petite qu’aucune grandeur assignable ; & en employant, pour le démontrer, la réduction à l’absurde.

Ce n’est pourtant pas parce que l’on y réduit à l’absurde, que l’on a donné à cette méthode le nom de méthode d’exhaustion : mais comme l’on s’en sert pour démontrer qu’il existe un rapport d’égalité entre deux grandeurs, lorsqu’on ne peut pas le prouver directement, on se restraint à faire voir qu’en supposant l’une plus grande ou plus petite que l’autre, on tombe dans une absurdité évidente : afin d’y parvenir, on permet à ceux qui nient l’égalité supposée, de déterminer une différence à volonté ; & on leur démontre que la différence qui existeroit entre ces grandeurs (en cas qu’il y en eût) seroit plus petite que la différence assignée ; & qu’ainsi cette différence ayant pû être supposée d’une petitesse qui, pour ainsi dire, épuisât toute grandeur assignable, c’est une nécessité de convenir que la différence entre ces grandeurs s’évanoüit véritablement. Or c’est cette petitesse indicible, inassignable, & qui épuise toute grandeur quelconque, qui a fait donner à la méthode présente le nom de méthode d’exhaustion, du mot latin exhaustio, épuisement.

La méthode d’exhaustion est fort en usage chez les anciens géometres, comme Euclide, Archimede, &c. Elle est fondée sur ce théorème du dixieme livre d’Euclide, que des quantités sont égales lorsque leur différence est plus petite qu’aucune grandeur assignable ; car si elles étoient inégales, leur différence pourroit être assignée ; ce qui est contre l’hypothèse.

C’est d’après ce principe qu’on démontre que, si un polygone régulier d’une infinité de côtés est inscrit ou circonscrit à un cercle, l’espace qui constitue la différence entre le cercle & le polygone s’épuisera & diminuera par degrés ; de sorte que le cercle deviendra égal au polygone. Voyez Quadrature, Polygone, &c. Voyez aussi Limite, Infini, &c. (E)

Le calcul différentiel n’est autre chose que la méthode d’exhaustion des anciens, réduite à une analyse simple & commode ; c’est la méthode de déterminer analytiquement les limites des rapports ; la métaphysique de cette méthode est expliquée très-clairement au mot Différentiel.