Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies

Joseph-Louis Lagrange

Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1867, Œuvres de Lagrange. Tome I (p. 335-362).

ESSAI D’UNE NOUVELLE MÉTHODE
SUR
DÉTERMINER LES MAXIMA ET LES MINIMA
DES
FORMULES INTÉGRALES INDÉFINIES.

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(Miscellanea Taurinensia, t. II, 1760-1761.)

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Pour peu qu’on soit au fait des principes du Calcul différentiel, on connaît la méthode de déterminer les plus grandes et les moindres ordonnées des courbes ; mais il est des questions de maximis et minimis d’un genre plus élevé et qui, quoique dépendantes de la même méthode, ne s’y appliquent pas si aisément. Ce sont celles où il s’agit de trouver les courbes mêmes, dans lesquelles une expression intégrale donnée soit un maximum ou un minimum par rapport à toutes les autres courbes.

Le premier Problème de ce genre, que les Géomètres aient résolu, est celui de la Brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente, que M. Jean Bernoulli proposa vers la fin du siècle passé. On n’y parvint alors que par des voies particulières, et ce ne fut que quelque temps après, et à l’occasion des recherches sur les Isopérimètres, que le grand Géomètre dont nous venons de parler et son illustre frère M. Jacques Bernoulli, donnèrent quelques règles générales pour résoudre plusieurs autres questions de même nature. Mais ces règles n’ayant pas assez d’étendue, le célèbre M. Euler a entrepris de réduire toutes les recherches de ce genre à une méthode générale, dans l’ouvrage intitulé : Methodus inveniendi lineas curvas maximi, minimise proprietate gaudentes : sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti ; ouvrage original et qui brille partout d’une profonde science du calcul. Cependant, quelque ingénieuse et féconde que soit sa méthode, il faut avouer qu’elle n’a pas toute la simplicité qu’on peut désirer dans un sujet de pure analyse. L’Auteur le fait sentir lui-même dans l’Article 39 du Chapitre II de son livre, par ces paroles : « Desideratur itaque methodus a resolutione geometrica et lineari libera, qua pateat in tali investigatione maximi minimique, loco $\mathrm {P} dp$ scribi debere $-pd\mathrm {P} .$ »

Maintenant voici une méthode qui ne demande qu’un usage fort simple des principes du Calcul différentiel et intégral ; mais avant tout je dois avertir que, comme cette méthode exige que les mêmes quantités varient de deux manières différentes, pour ne pas confondre ces variations, j’ai introduit dans mes calculs une nouvelle caractéristique $\delta .$ Ainsi $\delta \mathrm {Z}$ exprimera une différence de $\mathrm {Z}$ qui ne sera pas la même que $d\mathrm {Z} ,$ mais qui sera cependant formée par les mêmes règles ; de sorte qu’ayant une équation quelconque $d\mathrm {Z} =mdx,$ on pourra avoir également $\delta \mathrm {Z} =m\delta dx,$ et ainsi des autres. Cela posé, je viens d’abord au Problème suivant.

I.

Problème I. — Étant proposée une formule intégrale indéfinie représentée par$\int \mathrm {Z} ,$ où $\mathrm {Z}$ désigne une fonction quelconque déterminée des variables $x,\ y,\ z,$ et de leurs différences $dx,\ dy,\ dz,\ d^{2}x,\ d^{2}y,\ d^{2}z,\ldots ,$ trouver la relation que ces variables doivent avoir entre elles, pour que la formule $\int \mathrm {Z}$ devienne un maximum ou un minimum.

Solution. — Suivant la méthode connue de maximis et minimis, il faudra différentier la proposée $\int \mathrm {Z} ,$ en regardant les quantités $x,\ y,\ z,$ $\ dx,\ dy,\ dz,\ d^{2}x,\ d^{2}y,\ d^{2}z,\ldots ,$ comme variables, et faire la différentielle qui en résulte, égale à zéro. Marquant donc ces variations par $\delta ,$ on aura d’abord, pour l’équation du maximum ou minimum,

$\delta \int \mathrm {Z} =0,$

ou, ce qui en est l’équivalent,

$\int \delta \mathrm {Z} =0.$

Or, soit $\mathrm {Z}$ tel que

${\begin{alignedat}{5}\delta \mathrm {Z} =&&n\delta x&+&p\delta dx&+&q\delta d^{2}x&+&r\delta d^{3}x&+&\ldots \\&+&\mathrm {N} \delta y&+&\mathrm {P} \delta dy&+&\mathrm {Q} \delta d^{2}y&+&\mathrm {R} \delta d^{3}y&+&\ldots \\&+&\nu \delta z&+&\varpi \delta dz&+&\chi \delta d^{2}z&+&\rho \delta d^{3}z&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

il en viendra l’équation

${\begin{alignedat}{6}&&\int n\delta x&+&\int p\delta dx&+&\int q\delta d^{2}x&+&\int r\delta d^{3}x&+&\ldots \\&+&\int \mathrm {N} \delta y&+&\int \mathrm {P} \delta dy&+&\int \mathrm {Q} \delta d^{2}y&+&\int \mathrm {R} \delta d^{3}y&+&\ldots \\&+&\int \nu \delta z&+&\int \varpi \delta dz&+&\int \chi \delta d^{2}z&+&\int \rho \delta d^{3}z&+&\ldots &=&0\,;\end{alignedat}}$

mais on comprend aisément que

$\delta dx=d\delta x,\qquad \delta d^{2}x=d^{2}\delta x,$

et ainsi des autres ; de plus, on trouve, par la méthode des intégrations par parties,

${\begin{alignedat}{3}&\int pd\delta x&=&p\delta x&-&\int dp\delta x,\\&\int qd^{2}\delta x&=&qd\delta x&-&dq\delta x&+&\int d^{2}q\delta x,\\&\int rd^{3}\delta x&=&rd^{2}\delta x&-&drd\delta x&+&d^{2}r\delta x&-&\int d^{3}r\delta x,\end{alignedat}}$

et ainsi du reste ; donc l’équation précédente se changera en celle-ci :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&\int \left(n-dp\ +d^{2}q\ -d^{3}r\ \,+\ldots \right)\delta x\\+&\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y\\+&\int (\nu \,\ -d\varpi +d^{2}\chi \,-d^{3}\rho \ +\ldots )\delta z\\+&\left(p\,-dq\,+d^{2}r\,\ -\ldots \right)\delta x+(q\ -dr\ +\ldots )d\delta x\,+(r\ -\ldots )d^{2}\delta x+\ldots \\+&(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} -\ldots )\delta y\,\ +(\mathrm {Q} -d\mathrm {R} +\ldots )d\delta y\,+(\mathrm {R} -\ldots )d^{2}\delta y+\ldots \\+&(\varpi -d\chi +d^{2}\rho \ -\ldots )\delta z\ \ +(\chi \,-d\rho \,+\ldots )d\delta z\ +(\rho \,-\ldots )d^{2}\delta z\\+&\ldots =0\,;\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tirera premièrement l’équation indéfinie

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&\left(n\,-dp\ +d^{2}q\,\ -d^{3}r\ +\ldots \right)\delta x\\+&\left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} \,+d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y\\+&\left(\nu \ -d\varpi +d^{2}\chi \ -d^{3}\rho \,+\ldots \right)\delta z=0,\end{aligned}}\right.$

et ensuite l’équation déterminée

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&\left(p\ -dq\,\ +d^{2}r\ -\ldots \right)\delta x+(q\,-dr\,\ +\ldots )d\delta x+(r\ -\ldots )d^{2}\delta x\\+&\left(\mathrm {P} \,-d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} -\ldots \right)\delta y+(\mathrm {Q} -d\mathrm {R} +\ldots )d\delta y+(\mathrm {R} -\ldots )d^{2}\delta y\\+&\left(\varpi -d\chi \,+d^{2}\rho \ -\ldots \right)\delta z+(\chi \,-d\rho \ +\ldots )d\delta z+(p\ -\ldots )d^{2}\delta z\\+&\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

Cette équation se rapporte au dernier point de l’intégrale $\int \mathrm {Z} \,;$ mais il faut observer que, comme chacun de ses termes comme p\delta x dépend d’une intégration partielle de la formule $\int pd\delta x,$ on peut lui ajouter ou en retrancher une quantité constante. Or, la condition par laquelle cette constante doit se déterminer est qu’elle fasse évanouir le terme $p\delta x$ au point où commence l’intégrale $\int pd\delta x\,:$ il faudra donc retrancher de $p\delta x$ sa valeur en ce point ; d’où résulte la règle suivante. Soit le premier membre de l’équation (C), exprimé généralement par $\mathrm {M} ,$ et soit la valeur de $\mathrm {M} ,$ au point où commence l’intégrale $\int \mathrm {Z} ,$ désignée par ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} ,$ et au point où cette intégrale finit, désignée par $\mathrm {M} ',$ on aura $\mathrm {M'-{\grave {\,}}\!M} =0$ pour l’expression complète de l’équation (C).

Maintenant, pour se défaire dans les équations trouvées des différences indéterminées $\delta x,\delta y,\delta z,d\delta x,d\delta y,\ldots$, on examinera d’abord si, par la nature du Problème, il y a entre elles quelque rapport donné, et les ayant réduites au plus petit nombre possible, on fera ensuite le coefficient de chacune de celles qui resteront égales à zéro. Si elles sont absolument indépendantes les unes des autres, l’équation (B) nous donnera sur-le-champ les trois suivantes :

${\begin{aligned}&n\,-dp\,+d^{2}q\ -d^{3}r\ +\ldots =0,\\&\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots =0,\\&\nu \ -d\varpi +d^{2}\chi -d^{3}\rho \ +\ldots =0.\end{aligned}}$

II.

Exemple. — Soit cherchée la courbe brachistochrone dans le vide.

Nommant $x$ l’abscisse verticale, et $y$ et $z$ les deux ordonnées horizontales et perpendiculaires l’une à l’autre, la formule qui exprime le temps sera

${\frac {\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{\sqrt {x}}},$

laquelle étant comparée à $\int \mathrm {Z} ,$ on a

$\mathrm {Z} ={\frac {\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{\sqrt {x}}}\,;$

et différentiant par $\delta ,$ suivant les règles ordinaires des différentiations,

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&-{\frac {\delta x{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{2x{\sqrt {x}}}}+{\frac {dx\delta dx}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}\\&+{\frac {dy\delta dy}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}+{\frac {dz\delta dz}{{\sqrt {x}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

donc, posant, pour abréger,

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$

on a

$n=-{\frac {ds}{2x{\sqrt {x}}}},\quad p={\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}},\quad \mathrm {P} ={\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}},\quad \varpi ={\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}},$

et toutes les autres quantités $q,r,\mathrm {N,Q} ,\ldots ,$ égales à zéro.

III.

Premier cas.-Or, si le Problème est de trouver en général, entre toutes les courbes possibles, celle de la plus vite descente, on aura en ce cas les équations

$n-dp=0,\qquad -d\mathrm {P} =0,\qquad -d\varpi =0,$

savoir

$-{\frac {ds}{2xdx}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad -d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad -d{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0\,;$

ces trois équations devant représenter une courbe unique, il faut qu’elles se réduisent à deux seulement : c’est de quoi il est facile de s’assurer par le calcul, car la seconde étant multipliée par $2{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}$ et ajoutée à la troisième multipliée par $2{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}},$ il vient, à cause de $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

$d\left({\frac {1}{x}}-{\frac {dx^{2}}{xds^{2}}}\right)=0,$

savoir, en différentiant et divisant le tout par ${\frac {2dx}{{\sqrt {x}}ds}},$

$-{\frac {ds}{2xdx}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

qui est la première équation.

Présentement, si l’on intègre les deux équations

$d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\qquad d{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

on a

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},\qquad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {1}{\sqrt {b}}},$

d’où l’on tire d’abord

${\frac {dy}{dz}}={\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}},$

ce qui fait voir que la courbe cherchée est toute dans un même plan vertical, et que par conséquent elle est à simple courbure. Pour la mieux connaître, rapportons-la à deux coordonnées prises dans son même plan. Que $x$ soit l’une et $t$ l’autre, on aura

${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}=t,$

et puisque ${\frac {dy}{dz}}={\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a}}},$ on aura en intégrant, sans ajouter de constante, parce que je suppose que l’axe des $x$ passe par la courbe même

$z=y{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\,;$

d’où l’on tire

$z=t{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a+b}}},\quad y=t{\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a+b}}},\quad dy=dt{\frac {\sqrt {b}}{\sqrt {a+b}}},\quad ds={\sqrt {dx^{2}+dt^{2}}},$

et enfin

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}={\frac {\sqrt {b}}{{\sqrt {a+b}}{\sqrt {x}}}}{\frac {dt}{\sqrt {dx^{2}+dt^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}},$

ce qui se réduit, en posant ${\frac {ab}{a+b}}=c,$ à

$dt={\frac {{\sqrt {x}}dx}{\sqrt {c-x}}},$

équation d’une cycloïde décrite sur une base horizontale par un cercle, dont le diamètre est égal à $c.$

IV.

Maintenant, si le premier et le dernier point de la brachistochrone sont donnés, il est clair que, les coordonnées $x,y,z$ étant invariables pour ces points, leurs différences $\delta x,\delta y,\delta z,d\delta x,d\delta y,\ldots$ seront nulles, et par conséquent aussi tous les termes de l’équation (C) ; la constante $c$ devra donc être déterminée en sorte que la cycloïde passe par les deux points donnés.

Si le premier point est donné, et que la brachistochrone doive être telle qu’un corps partant de ce point arrive dans le moindre temps à un plan horizontal donné, alors ${\grave {\,}}\!\mathrm {M}$ sera nul de lui-même, et l’équation (C) donnera $\mathrm {M} '=0,$ savoir

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}\delta x+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}\delta y+{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\delta z=0,$

équation qui devra avoir lieu seulement dans le point où la courbe rencontre le plan ; or, ce plan étant donné de position, l’abscisse se qui y répond sera donnée aussi ; par conséquent, on aura $\delta x=0,$ et le reste de l’équation devra être vrai, quelles que soient $\delta y$ et $\delta z.$ On aura donc

${\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad a=\infty ,\quad b=\infty ,$

ce qui transformera la cycloïde en une droite verticale. Mais, si le plan donné au lieu d’être horizontal était vertical et perpendiculaire à l’axe des $y$ ou des $z,$ on aurait alors $\delta y=0,$ et par conséquent

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

pour le premier cas, et $\delta z=0,$ et par conséquent

${\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0,\quad {\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0$

pour le second ; par là, on déterminerait les constantes $a$ et $b,$ et l’on trouverait que la cycloïde devrait être telle qu’elle rencontrât le plan donné à angles droits.

En général, si, au lieu d’un plan, on prend une surface quelconque pour terme de la brachistochrone, il est clair que les $\delta x,\delta y,\delta z$ de l’équation (C) devront avoir entre elles un rapport dépendant de la nature de la surface donnée ; de sorte que,

$dz=\mathrm {T} dx+\mathrm {U} dy$

étant supposée l’équation différentielle de cette surface, on aura

$\delta z=\mathrm {T} \delta x+\mathrm {U} \delta y$

donc, substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (C), on aura

$\left({\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}+\mathrm {T} {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\right)\delta x+\left({\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}+\mathrm {U} {\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}\right)\delta y=0\,;$

d’où l’on tire séparément

$dx+\mathrm {T} dz=0\quad {\text{et}}\quad dy+\mathrm {U} dz=0,$

équations qui font connaître que la surface proposée doit toujours être coupée à angles droits par la courbe cherchée.

Si la brachistochrone doit simplement être terminée par deux surfaces données de position, alors pour remplir l’équation (C) il est nécessaire de faire séparément ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} =0$ et $\mathrm {M} '=0,$ d’où l’on tire, pour le premier et le dernier point de la courbe, les mêmes conditions qu’on a trouvées dans le cas précédent pour le dernier point seulement ; on en conclura donc que la courbe cherchée sera celle, d’entre toutes les cycloïdes possibles, qui rencontrera perpendiculairement les deux surfaces proposées.

V.

Second cas. — Supposons maintenant que la brachistochrone doive être toute couchée sur une surface donnée, dont l’équation soit

$dz=pdx+qdy\,;$

changeant la caractéristique $d$ en $\delta ,$ on aura donc

$\delta z=p\delta x+q\delta y,$

équation qui donne le rapport qu’il doit y avoir en général entre les différences $\delta z,\delta y,\delta x.$ Substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (B), et faisant ensuite les deux coefficients de $\delta x$ et de $\delta y$ chacun égal à zéro, on aura pour la courbe cherchée

${\begin{aligned}-pd{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}-{\frac {ds}{{\sqrt {x}}2x}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=&0,\\-qd{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}-d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=&0.\end{aligned}}$

Ces équations reviennent au même, étant combinées avec l’équation à la surface $dz=pdx+qdy\,;$ car, multipliant la première par ${\frac {2dx}{{\sqrt {x}}ds}}$ et la

seconde par ${\frac {2dy}{{\sqrt {x}}ds}}$ et les joignant ensemble, on trouve, après toutes les réductions,

$-d{\frac {1}{x}}-{\frac {dx}{x^{2}}}=0.$

On prendra donc une de ces équations à volonté, et on la combinera avec l’équation $dz=pdx+qdx,$ pour avoir la brachistochrone cherchée.

VI.

À l’égard de l’équation (C), il est clair que tous les termes de cette équation s’évanouiront lorsqu’on supposera donnés le premier et le dernier point de la courbe ; mais si l’un d’eux était arbitraire, alors ayant substitué, au lieu de $\delta z,$ sa valeur $p\delta x+q\delta y,$ on aurait les équations

$p{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=0\quad {\text{et}}\quad q{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=0,$

qu’il faudrait vérifier par rapport à ce point. Mais, si l’on avait tracé sur la surface une courbe à laquelle le mobile dût arriver dans le temps le plus court, supposant cette courbe donnée par l’équation

$dy=mdx,$

on aurait de même

$\delta y=m\delta x\,;$

et, cette valeur de $\delta y$ étant substituée dans l’équation (C), on ferait

$p{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}+\left(q{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}+{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}\right)m=0,$

ou bien

$(p+qm)dz+dx+mdy=0,$

équation qui renferme les conditions nécessaires pour que la brachistochrone rencontre à angles droits la courbe proposée.

VII.

Remarque I. — M. Euler est le premier qui ait donné des formules générales pour trouver les courbes dans lesquelles une fonction intégrale donnée est la plus grande ou la plus petite (voyez l’ouvrage dont on a fait mention plus haut, page 335) ; mais les formules de cet Auteur sont moins générales que les nôtres : 1^o parce qu’il ne fait varier que la seule changeante $y$ dans l’expression $\mathrm {Z} \,;$ 2^o parce qu’il suppose que le premier et le dernier point de la courbe sont fixes. En introduisant ces conditions dans nos formules, elles deviendront entièrement conformes à celles du Problème V du Traité cité ; il faudra seulement mettre $\mathrm {Z} dx$ au lieu de $\mathrm {Z} ,$ et ensuite ${\frac {\mathrm {P} }{dx}},{\frac {\mathrm {Q} }{dx^{2}}},\ldots$ au lieu de $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ $dx$ étant constant.

VIII.

Remarque II. — Soit supposé

$dy=\mathrm {A} dx,\quad d\mathrm {A} =\mathrm {B} dx,\ldots ,\quad dz=\alpha dx,\quad d\alpha =\beta dx,\ldots ,$

il est clair qu’en substituant ces valeurs dans l’expression $\mathrm {Z} ,$ elle prendra cette forme $\mathrm {X} dx,$ où $\mathrm {X}$ sera une fonction quelconque algébrique des variables finies

$x,y,z,\mathrm {A,B} ,\ldots ,\alpha ,\beta ,\ldots \,;$

faisons donc

$\delta \mathrm {X} =\mathrm {N} '\delta x+n'\delta y+\nu '\delta z+\mathrm {P} '\delta \mathrm {A} +\mathrm {Q} '\delta \mathrm {B} +\ldots +\varpi '\delta \alpha +\chi '\delta \beta +\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&\delta \mathrm {Z} =\delta (\mathrm {X} dx)=\delta \mathrm {X} dx+\mathrm {X} \delta x=\delta \mathrm {X} dx+{\frac {\mathrm {Z} \delta dx}{dx}}=\mathrm {N} 'dx\delta x+{\frac {\mathrm {Z} }{dx}}\delta dx\\&+n'dxdy+\nu 'dx\delta z+\mathrm {P} 'dx\delta \mathrm {A} +\mathrm {Q} 'dx\delta \mathrm {B} +\ldots +\varpi 'dx\delta \alpha +\chi 'dx\delta \beta +\ldots .\end{aligned}}$

Or,

${\begin{aligned}dy=&\mathrm {A} dx,\\d^{2}y=&\mathrm {B} dx^{2}+\mathrm {A} d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}dy=&\delta \mathrm {A} dx+\mathrm {A} \delta dx,\\\delta d^{2}y=&\delta \mathrm {B} dx^{2}+\delta \mathrm {A} d^{2}x+2\mathrm {B} dx\delta dx+\mathrm {A} \delta d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on trouvera de même

${\begin{aligned}\delta dz=&\delta \alpha dx+\alpha \delta dx,\\\delta dz=&\delta \beta dx^{2}+\delta \alpha d^{2}x+2\beta dx\delta dx+\alpha \delta d^{2}x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’expression de $\delta \mathrm {Z} ,$ de l’Article I, et ordonnant les termes, on aura

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&n\delta x+(p+\mathrm {PA} +2\mathrm {QB} dx+\ldots +\varpi \alpha +2\chi \beta dx+\ldots )\delta dx\\&+(q+\mathrm {QA} +\ldots +\chi \alpha +\ldots )\delta d^{2}x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {N} \delta y+\nu \delta z+\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} d^{2}x+\ldots \right)\delta \mathrm {A} +\left(\mathrm {Q} dx^{2}+\ldots \right)\delta \mathrm {B} +\ldots \\&+\left(\varpi dx+\chi d^{2}x+\ldots \right)\delta \alpha +\left(\chi dx^{2}+\ldots \right)\delta \beta \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ doit être identique avec celle qu’on a trouvée précédemment ; comparant donc les termes affectés de $\delta dx,\delta d^{2}x,\ldots ,$ on aura les équations

${\frac {\mathrm {Z} }{dx}}=p+\mathrm {PA} +2\mathrm {QB} dx+\ldots +\varpi \alpha +2\chi \beta dx+\ldots ,$

$q+\mathrm {QA} +\ldots +\chi \alpha +\ldots =0.$

La seconde étant différentiée et ensuite retranchée de la première, on a

${\frac {\mathrm {Z} }{dx}}=p-dq+\ldots +\mathrm {PA+QB} dx-\mathrm {A} d\mathrm {Q} +\ldots +\varpi \alpha +\chi \beta dx-\alpha d\chi +\ldots =0.$

La même équation étant multipliée par $d^{2}x$ et ensuite ajoutée à celle-ci, multipliée par $dx,$ il vient

$\mathrm {Z} =pdx+\mathrm {P} dy+\varpi dz+qd^{2}x-dqdx+\mathrm {Q} d^{2}y-d\mathrm {Q} dy+\chi d^{2}z-d\chi dz+\ldots .$

Différentiant et effaçant ce qui se détruit, on aura, à cause de

$d\mathrm {Z} =ndx+\mathrm {N} dy+\nu dz+pd^{2}x+\mathrm {P} d^{2}y+\ldots ,$

$\left(n-dp+d^{2}q+\ldots \right)dx+\left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} +\ldots \right)dy$

$+\left(\nu -d\varpi +d^{2}\chi +\ldots \right)dz=0,$

équation qui est d’elle-même identique, et qui montre par conséquent que les équations trouvées à la fin de l’Article I sont telles, que, si on en prend deux à volonté, la troisième s’ensuit toujours nécessairement.

IX.

Problème II. — Rendre la formule $\int \mathrm {Z}$ un maximum ou un minimum, en supposant que $\mathrm {Z}$ est une fonction quelconque algébrique composée, des changeantes $x,y,z$ avec leurs différences $dx,dy,dz,d^{2}x,d^{2}y,\ldots ,$ et de la quantité $\Pi =\int \mathrm {Z} ',$ $\mathrm {Z} '$ étant une autre fonction algébrique quelconque des seules changeantes $x,y,z,\ldots$ et de leurs différences $dx,dy,dz,d^{2}x,$$d^{2}y,\ldots .$

Solution. — Soit, en différentiant par $\delta ,$

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&\mathrm {L} \delta \Pi +n\delta x+p\delta dx+q\delta d^{2}x+\ldots +\mathrm {N} \delta y+\mathrm {P} \delta y+\mathrm {Q} \delta d^{2}y+\ldots \\&+\nu \delta z+\varpi \delta z+\chi \delta d^{2}z+\ldots \end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}\mathrm {Z} '=&n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots +\mathrm {N} '\delta y+\mathrm {P} '\delta dy+\mathrm {Q} '\delta d^{2}y+\ldots \\&+\nu '\delta z+\varpi '\delta dz+\chi '\delta d^{2}z+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura, par hypothèse,

$\delta \Pi =\delta \int \mathrm {Z} '=\int \delta \mathrm {Z} '=\int \left(n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots \right)\,;$

donc

${\begin{aligned}\delta \int \mathrm {Z} =\int \delta \mathrm {Z} =\int &\left(ndx+p\delta dx+q\delta d^{2}x+\ldots \right)\\&+\int \mathrm {L} \int (n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots ).\end{aligned}}$

La première partie se réduira, comme dans le Problème I, à

$\int \left(n-dp+d^{2}q-\ldots \right)\delta x+(p-dq+\ldots )\delta x+(q-\ldots )d\delta x+\ldots .$

À l’égard de la seconde, on la transformera d’abord en

${\begin{aligned}&\int \mathrm {L} \times \int \left(n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots \right)\\-&\int \left[\int \mathrm {L} \times \left(n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots \right)\right].\end{aligned}}$

Or, soit la valeur totale de l’intégrale $\int \mathrm {L}$ représentée par $\mathrm {H} ,$ prenant cette quantité $\mathrm {H}$ pour constante, la transformée précédente se réduira à celle-ci

$\int \left[\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\left(n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots \right)\right],$

laquelle se transformera aisément, par des intégrations par parties, en

${\begin{aligned}\int &\left[n'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)-dp'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)+d^{2}q'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)-\ldots \right]\delta x\\&+\left[p'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)-dq'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)+\ldots \right]\delta x\\&+\left[q'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)+\ldots \right]d\delta x+\ldots .\end{aligned}}$

Posant donc, pour abréger,

${\begin{aligned}n+n'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(n),\\p+p'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(p),\\q+q'\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(q),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}&\mathrm {N+N'\left(H-\int L\right)=(N)} ,\\&\mathrm {P\,+P'\left(H-\int L\right)=(P)} ,\\&\mathrm {Q+Q'\left(H-\int L\right)=(Q)} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

comme aussi

${\begin{aligned}\nu +\ \,\nu \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(\nu ),\\\varpi +\varpi \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(\varpi ),\\\chi +\,\chi \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)=&(\chi ),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

on aura, en général,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \int \mathrm {Z} &=\int \left[(n)-d(p)\ +d^{2}(q)\ -\ldots \right]\delta x\\&+\int \left[(\mathrm {N} )-d(\mathrm {P} )\,+d^{2}(\mathrm {Q} )-\ldots \right]\delta y\\&+\int \left[(\nu )\ -d(\varpi )+d^{2}(\chi )\,-\ldots \right]\delta z\\&+\left[(p)\ -d(q)\,\ +\ldots \right]\delta x+\left[(q)\ -\ldots \right]\delta dx+\ldots \\&+\left[(\mathrm {P} )\,-d(\mathrm {Q} )+\ldots \right]\delta y+\left[(\mathrm {Q} )-\ldots \right]\delta dy+\ldots \\&+\left[(\varpi )-d(\chi )\,+\ldots \right]\delta z+\left[(\chi )\ -\ldots \right]\delta dz+\ldots =0,\end{aligned}}\right.$

équation réduite à la forme de l’équation (A) du Problème précédent : donc, etc.

X.

Corollaire. — Ce serait la même méthode qu’il faudrait suivre si la quantité $\mathrm {Z} '$ renfermait une autre fonction intégrale indéfinie $\Pi '=\int \mathrm {Z} '',$ en sorte que

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} '\ =&\mathrm {L} '\delta \Pi '+n'\delta x+p'\delta dx+\ldots ,\\\delta \mathrm {Z} ''=&n''\delta x+p''\delta dx+q''\delta d^{2}x+\ldots +\mathrm {N} ''\delta y+\mathrm {P} ''\delta dy+\mathrm {Q} ''\delta d^{2}y+\ldots \\&+\nu ''\delta z+\varpi ''\delta dz+\chi ''\delta d^{2}z+\ldots .\end{aligned}}$

Alors l’expression de $\delta \int \mathrm {Z}$ serait augmentée de la formule

$\int \mathrm {L} \int \mathrm {L} '\int \left(n''\delta x+p''\delta dx+q''\delta d^{2}x+\ldots \right)\,;$

or cette formule se réduit d’abord à.

$\int \left[\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\mathrm {L} '\int \left(n''\delta x+p''\delta dx+q''\delta d^{2}x+\ldots \right)\right],$

et ensuite à

$\int \left\{\left[\mathrm {H} '-\int \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\mathrm {L} '\right]\left(n''\delta x+p''\delta dx+q''\delta d^{2}x+\ldots \right)\right\},$

en posant $\mathrm {H} '$ pour la valeur totale de l’intégrale

$\int \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\mathrm {L} '.$

Par conséquent, il n’y aura qu’à augmenter, dans la formule (D), la valeur de $(n)$ de la quantité

$n''\left[\mathrm {H} '-\int \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\mathrm {L} \right],$

celle de $(p)$ de la quantité

$p''\left[\mathrm {H} '-\int \left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} \right)\mathrm {L} \right],$

et ainsi des autres.

Il est aisé de voir maintenant le procédé qu’il faudrait suivre si la formule $\mathrm {Z} ''$ contenait encore une autre formule intégrale $\int \mathrm {Z} ''',$ et ainsi de suite.

XI.

Problème III. — Trouver l’équation du maximum ou du minimum de la formule $\int \mathrm {Z} ,$ lorsque $\mathrm {Z}$ est donné simplement par une équation différentielle qui ne renferme d’autres différences de $\mathrm {Z}$ que la première.

Solution. — Quelle que soit l’équation proposée, pourvu qu’elle soit délivrée de tout signe d’intégration, il est clair qu’en la différentiant par $\delta$ on pourra toujours la mettre sous la forme suivante :

$\delta d\mathrm {Z+T} \delta \mathrm {Z} =n\delta x+p\delta dx+\ldots +\mathrm {N} \delta y+\mathrm {P} \delta dy+\ldots +\nu \delta dz+\varpi \delta dz+\ldots \,;$

d’où l’on tirera, à cause de $\delta d\mathrm {Z} =d\delta \mathrm {Z} ,$ la valeur de $\delta \mathrm {Z}$ exprimée par

$e^{-\int \mathrm {T} }\int e^{\int \mathrm {T} }\left(n\delta x+p\delta dx+\ldots \right),$

et de là

$\delta \int \mathrm {Z} =\int e^{-\int \mathrm {T} }\int e^{\int \mathrm {T} }(n\delta x+p\delta dx+\ldots ).$

En suivant les principes établis dans le Problème précédent, on supposera que $\mathrm {G}$ soit la valeur totale de $\int e^{-\int \mathrm {T} },$ et faisant ensuite

${\begin{aligned}ne^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(n),\\pe^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(p),\\qe^{\int \mathrm {T} }\left(\mathrm {G} -\int e^{-\int \mathrm {T} }\right)=&(q),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

on trouvera pour l’expression de $\delta \int \mathrm {Z}$ une formule tout à fait semblable à la formule (D) ci-dessus.

XII.

Scolie. — Les formules qui font l’objet des deux Problèmes précédents sont analogues à celles que M. Euler a traitées dans le Chapitre III de son ouvrage sur cette matière.

Le lecteur qui sera curieux de comparer nos solutions avec celles que ce savant Auteur a trouvées par une méthode différente verra qu’elles s’accordent dans les résultats, en ayant égard à ce qu’on a dit dans l’Article VII ci-dessus. Au reste, M. Euler n’est pas allé plus loin et n’a point examiné les cas où la formule $\mathrm {Z}$ dépendrait d’une équation différentielle d’un ordre plus élevé. Le Corollaire suivant ne laissera plus rien à désirer sur ce sujet.

XIII.

Corollaire. — Supposons que dans l’équation différentielle proposée il se trouve des différences de $\mathrm {Z}$ du second ordre, de sorte qu’en différentiant par $\delta$ il vienne

$\delta d^{2}\mathrm {Z+T} \delta d\mathrm {Z+U} \delta \mathrm {Z} =n\delta x+p\delta dx+\ldots .$

Je commence par mettre la caractéristique $d$ avant la caractéristique $\delta \,;$ ensuite, je multiplie toute l’équation par une variable indéterminée $\alpha ,$ et j’en prends la somme, en affectant les deux membres du signe $\int \,;$ après, je transforme le premier membre

$\int \left(\alpha d^{2}\delta \mathrm {Z} +\alpha \mathrm {T} d\delta \mathrm {Z} +\alpha \mathrm {U} \delta \mathrm {Z} \right)$

en

$\alpha d\delta \mathrm {Z} +(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )\delta \mathrm {Z} +\int \left[\alpha \mathrm {U} -d(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )\right]\delta \mathrm {Z} ,$

et supposant $\alpha$ tel que

$\alpha \mathrm {U} -d(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )=0,$

j’ai l’équation

$d\delta \mathrm {Z} {\frac {\alpha \mathrm {T} -d\alpha }{\alpha }}\delta \mathrm {Z} ={\frac {1}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha \,;$

d’où l’on tire aisément

$\delta \mathrm {Z} =e^{-\int \mathrm {T} }\int {\frac {e^{\int \mathrm {T} }}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha ,$

$\mathrm {T}$ étant mis pour ${\frac {\alpha \mathrm {T} -d\alpha }{\alpha }}\,;$ et enfin

$\delta \int \mathrm {Z} =\int e^{-\int \mathrm {T} }\int {\frac {e^{\int \mathrm {T} }}{\alpha }}\int (n\delta x+p\delta dx+\ldots )\alpha ,$

formule qui est dans le cas de celle qu’on a traitée dans l’Article X.

Par des procédés semblables, on trouvera l’expression de $\delta \int \mathrm {Z}$ lorsque $\delta \mathrm {Z}$ sera donnée par une équation différentielle du troisième ordre et au delà, et cette expression sera toujours susceptible de la méthode expliquée dans le Problème II.

XIV.

Remarque. — L’équation de condition

$\alpha \mathrm {U} -d(\alpha \mathrm {T} -d\alpha )=0$

est du second ordre, et ne peut être intégrée que dans certains cas particuliers ; mais notre solution n’en est pas moins générale, car, pour délivrer l’équation du maximum ou du minimum de l’inconnue $\alpha ,$ il ne faudra que la combiner avec la précédente par le moyen de plusieurs différentiations réitérées ; il n’y aura de difficulté que la longueur du calcul.

XV.

Scolie. — Il est clair que la méthode du Corollaire précédent suffit pour déterminer les maxima et les minima de toutes les formules intégrales imaginables ; car dénotant par $\Pi$ la formule proposée, il sera toujours possible d’exprimer $\Pi$ par une équation différentielle qui ne renferme aucun signe d’intégration ; ainsi l’on aura, en différentiant par $\delta ,$ une nouvelle équation qui contiendra $\delta \Pi$ avec ses différences $d\delta \Pi ,\ldots ,$ et l’on en tirera l’expression intégrale de $\delta \Pi ,$ et par conséquent l’équation du maximum ou minimum par les règles enseignées.

---

Appendice I.

Par la méthode qui vient d’être expliquée on peut aussi chercher les maxima et les minima des surfaces courbes, d’une manière plus générale qu’on ne l’a fait jusqu’ici.

Pour ne donner là-dessus qu’un exemple très-simple, supposons qu’il faille trouver la surface qui est la moindre de toutes celles qui ont un même périmètre donné.

Ayant pris trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ et la surface étant supposée représentée par l’équation

$dz=pdx+qdy,$

on trouvera, pour l’élément de la quadrature, $dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,:$ par conséquent, la surface entière sera égale à

$\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

où les deux signes $\iint$ marquent deux intégrations successives, l’une par rapport à $x$ et l’autre par rapport à $y,$ ou réciproquement. On aura donc, suivant notre méthode,

$\delta \iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}=0,$

ce qui se réduit d’abord à

$\iint \delta \left(dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\right)=\iint dxdy{\frac {p\delta p+q\delta q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}=0,$

en différentiant et en supposant $dx,dy$ constantes. Or,

$p=\left({\frac {dz}{dx}}\right),\qquad q=\left({\frac {dz}{dy}}\right)\,;$

donc

$\delta p=\left({\frac {\delta dz}{dx}}\right)=\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),\qquad \delta q=\left({\frac {\delta dz}{dy}}\right)=\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)\,;$

donc

$\iint dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)+\iint dxdy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=0.$

Maintenant, comme dans l’expression $\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),$ $d\delta z$ exprime la différence de $\delta z,$ $x$ seul étant variable, il est clair que pour faire disparaître cette différence, il ne faudra considérer dans la formule

$\iint dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)$

que l’intégration relative à $x\,;$ soit donc prise l’intégrale

$\int dx{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)$

où $x$ seul varie, il est facile de la transformer par des intégrations par parties en

${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z-\int d{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z,$

ce qui se réduit, en supposant les premiers et les derniers $z$ donnés, à

$-\int d{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z,$

la différentielle de ${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ étant prise en variant seulement $x.$ Soit, pour abréger,

${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}=\mathrm {P} \,;$

on aura, en multipliant par $dy$ et intégrant de nouveau,

$\int dy\int dx{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),$

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}\iint &dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)\\=&-\int dy\int dx\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)\delta z=-\iint dxdy\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)\delta z.\end{aligned}}$

On trouvera de même, en n’ayant égard qu’à la variabilité de $y$ et posant $\mathrm {Q}$ pour ${\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}},$

$\int dy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=\mathrm {Q} \delta z-\int dy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z=-\int dy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z.$

et

$\iint dxdy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=-\iint dxdy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z.$

Substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$-\iint dxdy\left[\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0,$

laquelle devra être vraie indépendamment de $\delta z\,;$ on aura donc en général, pour tous les points de la surface cherchée,

$\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)=0\,;$

ce qui montre que cette quantité

$\mathrm {P} dy-\mathrm {Q} dx,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}},$

doit être une différentielle complète. Le problème se réduit donc à chercher $p$ et $q$ par ces conditions que

$pdx+qdy\quad {\text{et}}\quad {\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$

soient l’une et l’autre des différentielles exactes.

Il est d’abord clair qu’on satisfera à ces conditions en faisant $p$ et $q$ constantes, ce qui donnera un plan quelconque pour la surface cherchée ; mais ce ne sera là qu’un cas très-particulier, car la solution générale doit être telle, que le périmètre de la surface puisse être déterminé à volonté.

Si la surface cherchée ne devait être un minimum qu’entre toutes celles qui forment des solides égaux, alors, $zdxdy$ étant l’élément du solide, il faudrait que la formule $\iint zdxdy$ demeurât la même pendant que l’autre, la formule $\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}$ varie ; on aurait donc à la fois les deux équations

$\delta \left(\iint zdxdy\right)=0\quad {\text{et}}\quad \delta \left(\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\right)=0,$

savoir

$\iint dxdy\delta z=0\quad {\text{et}}\quad \iint dxdy\left[\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0.$

Qu’un multiplie la première par un coefficient quelconque $k$ et qu’on

l’ajoute à la seconde, on aura

$\iint dxdy\left[k+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0,$

d’où l’on tire l’équation générale

$k+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)=0,$

qui aura lieu toutes les fois que

$(\mathrm {P} +kx)dy-\mathrm {Q} dx$

sera une différentielle complète. Donc la question sera réduite à chercher $p$ et $q$ par cette condition que, $pdx+qdy$ étant une différentielle exacte,

${\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}+kxdy$

en soit une aussi.

L’équation de la sphère est en général

$(z-a)^{2}+(y-b)^{2}+(x-c)^{2}=r^{2},$

ce qui donne

$dz={\frac {(y-b)dy+(x-c)dx}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}}\,;$

donc

$p={\frac {x-c}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}},\qquad q={\frac {y-b}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}},$

donc

${\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}+kxdy=\left({\frac {1}{r}}+k\right)xdy-{\frac {1}{r}}ydx+{\frac {bdx-cdy}{r}},$

qui est une différentielle complète si

${\frac {1}{r}}+k=-{\frac {1}{r}}.$

---

Appendice II.

Soit proposé de trouver celui d’entre tous les polygones qui ont un nombre donné de côtés donnés, dont l’aire est la plus grande.

La méthode de ce Mémoire est aussi applicable à ces sortes de questions, car soient $y$ une ordonnée quelconque du polygone, et $x$ l’abscisse correspondante, on aura pour l’élément fini de l’aire

$\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dx,$

comme il est aisé de s’en assurer par l’inspection d’une figure fort simple ; par conséquent l’aire entière sera

$\int \left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dx.$

Donc, suivant notre méthode,

$\delta \left[\int \left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dx\right]=\int \left[(\delta y)dx+{\frac {1}{2}}\left(\delta dy\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)\delta dx\right]=0.$

Or, chaque côté du polygone est en général ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\,:$ donc on aura

$\delta {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=0,$

c’est-à-dire

$dx\delta dx+dy\delta dy=0$

et

$\delta dx=-{\frac {dy\delta dy}{dx}}\,;$

substituant cette valeur de $\delta dx$ dans l’équation précédente, elle deviendra celle-ci :

$\int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx}}\right)\delta dy\right]=0.$

Qu’on mette au lieu de $\delta dy$ son égale $d\delta y,$ et qu’on fasse, pour abréger,

${\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}=z,$

on aura la formule $zd\delta y$ qu’il faudra intégrer par parties, afin de faire disparaître la différence de $\delta y.$ Pour cela, je remarque que dans le cas des différences finies on a

$d(z\delta y)=dz\delta y+zd\delta y+dzd\delta y=zd\delta y+dz(\delta y+d\delta y),$

et, en dénotant par $\delta y'$ le terme qui suit $\delta y,$

$d(z\delta y)=zd\delta y+dz\delta y'\,;$

donc

$z\delta y=\int zd\delta y+\int dz\delta y',$

donc

$\int zd\delta y=z\delta y-\int dz\delta y',$

ou, ce qui est la même chose,

$\int zd\delta y=z\delta y-\int d\,{\grave {\,}}\!z\delta y,$

$d\,{\grave {\,}}\!z$ étant le terme qui précède $dz$ et qui par conséquent est multiplié par $\delta y\,;$ substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$z\delta y+\int \left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y=0.$

Supposons que le polygone coupe l’axe en deux points, en sorte que le premier et le dernier y soient nuls, aussi bien que leurs différences $\delta y\,;$ le terme $z\delta y$ qui est hors du signe $\int$ disparaîtra, et l’on aura simplement

$\int \left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y=0,$

ce qui donnera en général

$dx-d\,{\grave {\,}}\!z=0,$

c’est-à-dire, en intégrant,

$a=x-{\grave {\,}}\!z=x'-z=x+dx-z=x+dx-{\frac {1}{2}}dx+{\frac {ydy}{dx}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\,;$

multipliant par $dx$ et réduisant, on aura

$adx=\left(x+{\frac {1}{2}}dx\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dy={\frac {1}{2}}d(x^{2})+{\frac {1}{2}}d(y^{2})\,;$

et intégrant de nouveau,

$2ax+r^{2}=x^{2}+y^{2},$

équation d’un cercle dont le centre est dans l’axe des $x\,;$ donc on voit

que le polygone cherché doit être tel, qu’il puisse être inscrit dans la demi-circonférence d’un cercle.

Si la base du polygone était donnée, alors il faudrait que le dernier $\delta x$ fût égal à zéro ; or,

$\delta x=-\int {\frac {dyd\delta y}{dx}},$

il faudrait donc que la valeur totale de $\int {\frac {dyd\delta y}{dx}}$ fût égale à zéro en même temps que celle de

$\int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]$

est aussi égale à zéro. Pour cela, soit la première formule multipliée par un coefficient indéterminé $k,$ et ensuite ajoutée à la seconde, on aura

$\int \left[dx\delta y+\left(k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}\right)d\delta y\right]=0\,;$

donc, faisant

$k{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {ydy}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{2}}{dx}}=z,$

on parviendra comme ci-dessus à l’équation

$a=x+dx-z,$

qui se réduit, en multipliant par $dx,$ à l’équation

$adx=kdy{\frac {1}{2}}d\left(x^{2}\right)+{\frac {1}{2}}d\left(y^{2}\right),$

dont l’intégrale est

$ax+b^{2}=ky+{\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}x^{2},$

équation d’un cercle en général ; d’où résulte ce théorème, que le plus grand polygone qu’on puisse former avec des côtés donnés est celui qui peut être inscrit dans un cercle.

M. Cramer a démontré ce théorème synthétiquement dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin, année 1752.

Si l’on veut que les côtés du polygone ne soient pas donnés chacun en particulier, mais seulement leur somme, c’est-à-dire le périmètre du polygone, on fera simplement égale à zéro la différence de l’intégrale $\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$ ce qui donnera l’équation

$\delta \int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\frac {dx\delta x+dy\delta dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=0,$

laquelle devra avoir lieu en même temps que l’équation du maximum

$\int \left[dx\delta y+{\frac {1}{2}}dx\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)\delta dx\right]=0.$

Multipliant donc une de ces équations par un coefficient indéterminé $k,$ et les ajoutant ensemble, on aura en général

$\int \left[dx\delta y+\left({\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dy+\left(y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\right)\delta dx\right]=0.$

Soit supposé

${\frac {1}{2}}dx+{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=z\quad {\text{et}}\quad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=u,$

on aura

$\int (dx\delta y+z\delta dy+u\delta dx)=0,$

équation qui se transforme par la même méthode que ci-dessus en

$z\delta y+u\delta x-\int \left[\left(dx-d\,{\grave {\,}}\!z\right)\delta y-d\,{\grave {\,}}\!u\delta x\right]=0,$

d’où l’on tire

$dx-d\,{\grave {\,}}\!z=0\quad {\text{et}}\quad d\,{\grave {\,}}\!u=0\,;$

on aura donc, en intégrant.

$x-{\grave {\,}}\!z=a,\quad {\text{savoir}}\quad x+dx-z=a,$

et

${\grave {\,}}\!u=b,\quad {\text{savoir}}\quad u=b,$

c’est-à-dire, en substituant pour $z$ et $u$ leurs valeurs,

$x+{\frac {1}{2}}dx-{\frac {kdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=a,\qquad y+{\frac {1}{2}}dy+{\frac {kdx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}=b.$

Qu’on multiplie la première par $dx$ et la seconde par $dy,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, il viendra

$\left(x+{\frac {1}{2}}dx\right)dx+\left(y+{\frac {1}{2}}dy\right)dy=adx+bdy\,;$

et, en intégrant,

${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=ax+by+r^{2},$

équation d’un cercle en général. Qu’on reprenne les mêmes équations et qu’on les carre, après avoir transposé les termes $x+{\frac {1}{2}}dx$ et $y+{\frac {1}{2}}dy,$ on aura

${\frac {k^{2}dy^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2},\qquad {\frac {k^{2}dx^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}=\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\,;$

ces équations étant ajoutées ensemble donnent

${\begin{aligned}k^{2}&=\left(a-x-{\frac {1}{2}}dx\right)^{2}+\left(b-y-{\frac {1}{2}}dy\right)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}-2ax-2by+x^{2}+y^{2}-(a-x)dx-(b-y)dy+{\frac {1}{4}}dx^{2}+{\frac {1}{4}}dy^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+r^{2}-{\frac {1}{4}}dx^{2}-{\frac {1}{4}}dy^{2},\end{aligned}}$

à cause de

$x^{2}+y^{2}-2ax-2by=r^{2}\quad {\text{et}}\quad (a-x)dx+(b-y)dy={\frac {1}{2}}dx^{2}+{\frac {1}{2}}dy^{2}\,;$

donc

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=2{\sqrt {a^{2}+b^{2}+r^{2}-k^{2}}},$

ce qui montre que tous les côtés du polygone doivent être égaux entre eux, et que par conséquent le polygone doit être régulier.

À l’égard des termes $z\delta y,\ u\delta x$ il est clair que ces termes disparaîtront d’eux-mêmes, si l’on suppose les premiers et derniers $x$ et $y$ donnés ; mais si, la base du polygone étant donnée et étant égale à $c,$ l’ordonnée $y$ qui y répond ne l’était pas, il faudrait faire $u=0$ et $z=0,$ lorsque $x=c\,;$ on aurait donc $b=0,$ $c=a,$ et la base $c$ deviendrait le diamètre du cercle circonscrit au polygone.