SOLUTION ALGÉBRIQUE D’UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE[1].
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1776.)
Problème.
Étant donné de grandeur et de position le cercle inscrire dans ce cercle un triangle dont les trois côtés prolongés s’il est nécessaire, passent par trois points donnés
Solution algébrique.
Je tire des trois points donnés au centre du cercle les droites ces droites sont données de grandeur et de position, parce qu’elles déterminent la position des trois points donnés
Nommant donc l’angle l’angle les cinq quantités sont données et connues.
Je tire présentement aux trois points de la circonférence du cercle, où sont les angles du triangle cherché les rayons
il est clair que ces trois lignes sont données de grandeur, parce que le cercle est supposé donné de grandeur ; mais leur position est inconnue, et c’est ce qu’il faut chercher.
Nommant donc l’angle l’angle et l’angle la question sera réduite à trouver les valeurs des trois inconnues Je nomme de plus le rayon du cercle,
Cela posé, je considère d’abord le triangle isocèle dans lequel on a
l’angle au centre
donc
l’angle
Ensuite je considère le triangle , dans lequel on a
l’angle au centre l’angle
donc
l’angle
Donc, par la proportionnalité des côtés aux sinus des angles opposés, on aura dans le même triangle
savoir
ou bien
d’où l’on tire l’équation
laquelle, par les Théorèmes connus, se réduit à celle-ci
ou bien
et, divisant par
(1)
On trouvera une autre équation semblable en considérant d’abord le triangle isocèle et ensuite tout le triangle et, sans flaire un nouveau calcul, il suffira de substituer la ligne au lieu de la ligne et le rayon au lieu du rayon donc au lieu de on aura au lieu de l’angle on aura l’angle et au lieu de l’angle on aura l’angle
Donc la nouvelle équation sera
(2)
Enfin on trouvera une troisième équation semblable par la considération du triangle isocèle et du triangle et pour cela il n’y aura qu’à mettre dans la première équation (1), à la place de la ligne la ligne à la place de l’angle l’angle et à la place de l’angle l’angle de sorte qu’on aura
(3)
et ces trois équations serviront à déterminer les trois angles inconnus
Faisons, pour plus de simplicité,
les trois équations que nous venons de trouver (1), (2), (3) deviendront, par la propriété connue des tangentes,
La première donne
la seconde donne
et ces valeurs étant substituées dans la troisième, on aura
équation qui, étant ordonnée par rapport à l’inconnue montera au second degré, et sera par conséquent résoluble par la règle et le compas.
Soit, pour abréger encore,
on aura l’équation
laquelle se réduit à
d’où il est facile de tirer Ensuite on aura et par les formules ci-dessus. On connaîtra donc par là les tangentes des angles par conséquent les points seront déterminés par rapport à la ligne
↑ Cette solution a été publiée par M. de Castillon en tête d’un Mémoire intitulé : Sur une nouvelle propriété des sections coniques et qui fait partie du volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1776. Voici en quels termes s’exprime l’Auteur du Mémoire :
« Le lendemain du jour dans lequel je lus à l’Académie ma solution du Problème concernant le cercle et le triangle à inscrire dans ce cercle, en sorte que chaque côté passe par un de trois points donnés, M. de la Grange m’en envoya la solution algébrique suivante. »