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ŒUVRES

droictes DE, DG, DH que les droictes AP, AR, coupent aux poincts F, G, H, C, γ, B, & que dans la droicte DC soit determiné le poinct E, la raison composée des raisons du rectangle EF en FG au rectangle de EG en Cγ, & de la droicte Aγ à la droicte AG, est la mesme que la composée des raisons du rectangle EF en FH au rectangle EC en CB, & de la droicte AB à la droicte AH. Et est aussi la mesme que la raison du rectangle des droictes FE, FD, au rectangle des droictes CE, CD. Partant, si par les points E, D passe une section de Cone qui coupe les droictes AH, AB ès points P, K, R, ψ, la raison composée des raisons du rectangle des droictes EF,

qui équivaut à

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {FG} }{\mathrm {FH} }}:{\frac {\mathrm {AG} }{\mathrm {AH} }}\ =\ {\frac {\mathrm {C\gamma } }{\mathrm {CB} }}:{\frac {\mathrm {A\gamma } }{\mathrm {AB} }}$

— C’est le théorème classique de Pappus, d’après lequel deux transversales coupant un même faisceau de quatre droites (ici, les droites DA, DG, Dγ, DB) déterminent des segments ayant même rapport anharmonique.

En second lieu Pascal écrit :

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {EF\times FH} }{\mathrm {EC\times CB} }}\times {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {AH} }}\ =\ {\frac {\mathrm {FE\times FD} }{\mathrm {CE\times CD} }}$,

ce qui équivaut à

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {HF} }{\mathrm {HA} }}\times {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {BC} }}\times {\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {DF} }}\ =\ 1$.

C’est le théorème de Ptolémée relatif aux segments déterminés sur une transversale par les trois côtés d’un triangle. Cf. le Brouillon Project de Desargues (Œuv. de Desargues, I, p. 111).

En troisième lieu, Pascal obtient :

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {EF\times FG\times \gamma A} }{\mathrm {EC\times C\gamma \times GA} }}\ =\ {\frac {\mathrm {FP\times FK} }{\mathrm {CR\times C\psi } }}\times {\frac {\mathrm {AR\times A\psi } }{\mathrm {AP\times AK} }}$

Cette égalité exprime la relation à laquelle satisfont les segments déterminés par la section conique sur les trois côtés du triangle AFC.