Cantor, est le trait le plus remarquable du Traité du Triangle arithmétique.
Lu troisième motif nous porte à croire que le Potestatum numericarum Summa est antérieur au Traité des Ordres numériques et aux lettres échangées par Fermat et Pascal à la fin de 1654. La proposition énoncée par Pascal dans son traité n’était en réalité pas nouvelle. Dès i636 cette proposi- tion était connue, de Fermat en particulier, et appliquée à l’évaluation des aires paraboliques. Or, lorsque Pascal écrivit le Potestatum numericarum Summa, il ignorait complètement les recherches de Fermat. Au contraire il en avait connaissance lorsqu’il rédigea le Traité des Ordres Numériques. C’est que dans l’intervalle Pascal était entré en correspondance avec Fermat, qui l’avait mis au courant de ses découvertes {Vide infra p. 417).
La question de la sommation des puissances numériques semble avoir été posée par Sainte-Croix dans les termes sui- vants {Œuv. de Fermai, II, p. 66) : « Datis quotlibet nu- meris in proportione quavis arithmetica, cujus differentia progressionis et numerus terminorum datur, invenire sum- mam cuborum abs omnibus. » Mersenne proposa cet énoncé à Fermat, qui généralisa le problème et déclara en septembre i636 (Lettre à Mersenne. OEuv. de Fermat, II, p. 69) : « Problema totius fortasse Arithmetices pulcherrimum con- struximus, quo non solum in quavis progressione summam quadratorum et cuborum venamur, sed omnium omnina potestatum in infinitum, methodo generalissima , quadra- toquadratorum , quadratocuborum , cubocuborum, etc. » Fermat offrait d’envoyer le détail de sa démonstration à Mersenne ou à Sainte-Croix ; mais il ne semble pas qu’il l’ait fait. Roberval s’occupa également du problème de Sainte-Croix ; il en obtint une solution qu’il exposa à Sainte-Croix ; mais cette solution n’était pas générale, et Fermat ne s’en montra pas satisfait (QEuv. de Fermat, II, p. 92).
Si l’on considère l’importance capitale du problème posé
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