Page:Œuvres de Blaise Pascal, III.djvu/603

La bibliothèque libre.
Cette page n’a pas encore été corrigée

diminué d’une unité, satisfera aux conditions du problème.

Soit donné un nombre tel que 5 : on demande quelle est la somme de toutes les combinaisons que l’on peut faire dans 5.

Le sixième terme, 32, de la progression double commençant par l’unité, étant diminué d’une unité, ce qui donne 3i, satisfait à la question, d’après le lemme 6 ; on peut donc faire 3i combinaisons dans le nombre 5.

Problème 2.

Étant donnés deux nombres inégaux, trouver de combien de manières le plus petit se combine dans le plus grand (sans se servir du triangle arithmétique).

La question n’est autre que le dernier problème du traité du triangle arithmétique, problème que je résous comme il suit :

Considérons le produit des nombres qui précèdent la différence des nombres proposés, augmentée d’une unité; puis divisons par ce produit le produit d’un même nombre de termes consécutifs commençant par le plus petit des nombres donnés, augmenté lui-même d’une unité : le quotient sera le nombre cherché.

Soient donnés deux nombres 2, 6 : on veut trouver de combien de manières 2 se combine dans 6.

Considérons la différence 4 des deux nombres et augmentons-la d’une unité, ce qui donne 5. Puis prenons tous les nombres qui précèdent 5, savoir 1,2, 3, ^, et formons leur produit 24- Prenons en-