Sed et rectangulum CFE, ex constructione, est equale rectangulo IFH; rectangula igitur IFH, BFN sunt equalia, ideoque punctum N est etiam ad superficiem sphaeræ IBH.
Probandum jam sphæram EGF a sphæra IBH in puncto N contingi quod quidem facile est. A puncto enim F, per quodlibet punctunl sphberwc EGF, ducatur recta FR, quse sphseram IBH in M et P et planuml AC in K secet. Rectangulum KFR, ex precedente lemmate, æquatur rectangulo CFE, cui ex constructione æquatur rectangulum IFH, ideoque PFM. Rectangula igitur KFR et PFM sunt æqualia; sed recta KF est major rectâ FP, quia sphlera IBII tangit planumr AC in B ergo recta FR est minor rectâ FM. Punctum igitur R est extra sphæram IBH.
Idem de quocumque alio puncto, in quovis piano, spiherc EGF, xe utraque puncti N parte, probabitur; man ifestumn itaque sphæram EGF; a sphera IBH in puncto N contingi.
Hæc lemmata, licet sint facilia, pulcherrinma tamen sunt, tertiur præsertim et quintum: in tertio quippe infinite sunt sphteræ quw pier puncta T et S transeuntes sphæram XM contingunt, sed omnes illæ in infinitum tangent quoque ex demonstratis splateram YN; in quinto autem lemmate infinite sunt sphæræ quæ, per puncta I et H transeuntes, planum AC contingunt, sed ormnes illa pariter in infinitum sphæram EGF ex demonstratis contingent. His suppositis, reliqua problemata facile exsequemur.
Datis duobus punctis, plano et sphæra, invenire sphæram quæ per data puncta transeat et sphæram ac planum datum contingat.
Sit datum planum ABC (fig. 62), sphæra DFE et puncta H, M. Per centrum sphæræ datæ O in planum ABC datum demittatur perpendicularis EODB; jungatur HE, et rectangulo BED fiat equale rectangulum HEG; dabitur itaque punctum G.
Datis tribus punctis H, G et M et piano ABC, quæratur sphæra, per secundum problema hujus, quæ per data tria puncta transeat et planum ABC datum contingat.
