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ad productumn sub hypotenusa et pelpendiculo alterius habeat rationem datam.

Quæ sane quæstio diu nos torsit et vere difficillimam quilibet tentando experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsius solutionem methodus.

premier triangle, en sorte toutefois que $2c_{1}>b_{1}$ ; il forme le second un posant

$a_{2}={\frac {4c_{1}^{2}+b_{1}^{2}}{b_{1}}},$

$b_{2}={\frac {4c_{1}^{2}-b_{1}^{2}}{b_{1}}},$

$c_{2}=4c_{1},$

et le troisième en prenant

$a_{3}=a_{1}a_{2},$

$b_{3}=b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1},$

$c_{3}=c_{1}c_{2}-b_{1}b_{2}.$

On a alors, d’une part,

$a_{1}a_{2}a_{3}=(a_{1}a_{2})^{2}$ ;

de l’autre,

$c_{1}c_{2}c_{3}=(2b_{1}c_{1})^{2}$ ;

Fermat a bien reconnu que Diophante, se donnant arbitrairement, par exemple, le troisième triangle (5, 3, 4), cherche les deux autres en sorte que ${\frac {a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}$, soit dans un rapport donné, à savoir 5. Mais il n’a pas deviné le procédé de l’auteur grec, qui a été restitué par Otto Schulz (Diophantus von Alexandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen, au dem Grieschischen übersetzt und mit Anmerkungen begleitet. Berlin, 1822, p. 546-551) d’après le texte donné par Bachet.

Diophante prend d’abord deux triangles auxiliaires $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$, tels que $\beta _{1}\gamma _{1}$ soit à $\beta _{2}\gamma _{2}$, dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le problème précédent V, 24, sont d’ailleurs (13, 12, 5) et (5, 4, 3).

D’autre part, ayant un triangle ($\alpha ,\beta ,\gamma$), Diophante sait construire un triangle $a,b,c$ tel que $ac={\frac {\beta \gamma }{2}}$. Il prend à cet effet

$a={\frac {1}{2}}\alpha ,$

$b={\frac {\beta _{2}-\gamma _{2}}{2\alpha }},$

$c={\frac {\beta \gamma }{\alpha }}.$

Du triangle (13, 12, 5) il déduit de cette façon le triangle $\left(6{\frac {1}{2}},{\frac {119}{26}},{\frac {60}{13}}\right)$, et du triangle (5, 4, 3), le triangle $\left(2{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {12}{5}}\right)$. Les deux triangles ainsi formés satisfont évidemment à la condition imposée.

Pour achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés

$\left({\frac {c_{1}}{a_{1}}}x\right)^{2}$, $\left({\frac {c_{2}}{a_{2}}}x\right)^{2}$, $\left({\frac {c_{3}}{a_{3}}}x\right)^{2}$,

c’est-à-dire

${\frac {14400}{28561}}x^{2}$,  ${\frac {576}{625}}x^{2}$,  ${\frac {16}{25}}x^{2}$

et, égalant leur produit à $x^{2}$, il tire pour $x$ la valeur ${\frac {65}{48}}$.