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vitesses & les directions $\mathrm {AD} \,\!$, $a\mathrm {d} \,\!$, $\alpha \delta \,\!$:la diagonale du parallélogramme fait sur les lignes $\mathrm {GN} \,\!$, $\mathrm {GO} \,\!$, sera la ligne même $\mathrm {GM} \,\!$ que parcourt le centre, lorsque les corps $\mathrm {A} \,\!$, $a\,\!$, $\alpha \,\!$, ont les vitesses & les directions $\mathrm {AC} \,\!$, $a\mathrm {c} \,\!$, $\alpha x\,\!$.

Fig. 18

Car supposons que lorsque les corps $A\,\!$, $a\,\!$, $\alpha \,\!$, sont parvenus en $B\,\!$, $b\,\!$, ${\mathcal {\,}}\!$, & que par conséquent (hyp.) le centre $G\,\!$ est en $N\,\!$, on leur donne suivant $BC\,\!$, $bc\,\!$, ${\mathcal {C}}x\,\!$, des vitesses égales & parallèles aux vitesses suivant $AD\,\!$, $ad\,\!$, $\alpha \delta \,\!$; il est clair qu’ils arriveront aux points $C\,\!$, $c\,\!$, $x\,\!$ des lignes $AC\,\!$, $ac\,\!$, $\alpha x\,\!$. Or, par la supposition, lorsque les corps $A\,\!$, $a\,\!$, $\alpha \,\!$ sont en $C\,\!$, $c\,\!$, $x\,\!$, le centre $G\,\!$ est en $M\,\!$; donc tandis que les corps $A\,\!$, $a\,\!$, $\alpha \,\!$, parcourent les lignes $BC\,\!$, $bc\,\!$, ${\mathcal {C}}x\,\!$, le centre de gravité parcourra la ligne $NM\,\!$. Cette ligne $NM\,\!$ sera (Lem. I.) parallèle aux lignes $BC\,\!$, $bc\,\!$, ${\mathcal {c}}\alpha \,\!$, & $={\frac {A\cdot BC+a\cdot bc+\alpha \cdot {\mathcal {C}}x}{A+a+\alpha }}\,\!$. Mais la ligne $GO\,\!$ que parcourrait le centre de gravité $G\,\!$, tandis que les corps $A\,\!$, $a\,\!$, et $\alpha \,\!$, décriroient les lignes $AD\,\!$, $ad\,\!$, $\alpha \delta \,\!$, parallèles & égales à $BC\,\!$, $bc\,\!$, ${\mathcal {C}}x\,\!$, cette ligne $GO\,\!$, dis-je, seroit parallèle aux lignes $AD\,\!$; $ad\,\!$, $\alpha \delta \,\!$, & seroit $={\frac {A\cdot AD+a\cdot ad+\alpha \cdot \alpha \delta }{A+a+\alpha }}=\,\!$${\frac {A\cdot BC+a\cdot bc+\alpha \cdot {\mathcal {C}}x}{A+a+\alpha }}=\,\!$$NM\,\!$. Donc la ligne $GO\,\!$ est égale & parallèle à $NM\,\!$:donc $MG\,\!$ est la diagonale du parallélogramme fait sur les côtés $NG\,\!$, $GO\,\!$. Ce qu’il falloit démontrer.

Scolie.

66. Il est visible que cette démonstration peut s’éten -