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ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE

En différentiant la valeur de $\scriptstyle \cos \beta$ par rapport à s, on trouve

$\scriptstyle {\frac {d\beta }{ds}}\sin \beta ={\frac {d^{2}r}{ds\,ds'}}$

mais quand le point M est transporté en et que m devient par conséquent s + ds, l’angle $\scriptstyle \beta$ diminue évidemment, tant que l’angle $\scriptstyle \gamma$ des deux plans M′MT, MM′T, est aigu, d’une quantité qui est la projection de l’angle MM′m sur le plan MM′T′ ; et comme cet angle est infiniment petit, on a

$\scriptstyle d\beta =-\mathrm {MM'} \,m\,cos\gamma \;$,

valeur qui s’applique aussi au cas où $\scriptstyle \gamma$ est un angle obtus, parce qu’alors $\scriptstyle \beta$ augmente avec s.

Mais l’angle MM′m a pour mesure

$\scriptstyle {\frac {me}{\mathrm {M'M} }}={\frac {ds\sin \alpha }{r}}\;$ ;

ainsi,

$\scriptstyle {\frac {d\beta }{ds}}=-{\frac {ds\cos \gamma }{r}}$

d’où il suit que

$\scriptstyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma =r{\frac {d^{2}r}{ds\,ds'}}$.

les ouvertures sont tournées en sens contraire ; mais le résultat du calcul ne serait point changé, parce que ce changement de signe de $\scriptstyle \cos \alpha \cos \beta$ entraînerait celui de la valeur de $\scriptstyle k$ quand on déterminerait $\scriptstyle k$, et donnerait par conséquent la même valeur pour

$\scriptstyle \sin \alpha \cos \gamma \div {k}\,{\cos \alpha }\,{\cos \beta }$.