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PRODUITS.

membres, le réduit à zéro, ce second membre sera divisible par $\mathrm {A} -x$ ou, pour mieux dire, par $1-{\frac {x}{\mathrm {A} }}$ ; 2.^o que réciproquement aucun binôme de la forme $1-{\frac {x}{\mathrm {A} }}$ ne pourra être facteur de l’un ou l’autre de ces seconds membres, à moins que la valeur $x=\mathrm {A}$ ne rende ce second membre égal à zéro. Ainsi, la recherche des facteurs binômes des seconds membres de ces équations se réduit à celle des valeurs de $x$ qui peuvent les faire devenir nuls.

Mais, au lieu de chercher quelles sont les valeurs de $x$ qui peuvent réduire ces seconds membres à zéro, il revient au même, et il est beaucoup plus facile, de chercher quelles sont celles de ces valeurs qui peuvent rendre nuls $\operatorname {Sin} .x{\text{ et }}\operatorname {Cos} .x$ : or, pour que ces fonctions deviennent nulles, il est nécessaire et suffisant qu’on ait pour la première $x=\pm k\varpi$, et pour la seconde $x=\pm {\frac {2k-1}{2}}\varpi$, ou ;

$1\mp {\frac {x}{k\varpi }}=0,\quad 1\mp {\frac {2x}{(2k-1)\varpi }}=0$ :

$\varpi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est 1, et $k$ un nombre entier positif quelconque^[1]. On peut donc affirmer que les facteurs binômes de la série :

${\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\cdots$

sont tous ceux de la forme$1\mp {\frac {x}{k\varpi }}$ qu’il est possible de former, en donnant successivement à $k$ toutes les valeurs entières et positives imaginables ; et que les facteurs binômes de la série :

$1-{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots$,

1. On pourrait prendre aussi bien pour la seconde formule $1\mp {\frac {2x}{(2k-1)\varpi }}=0$ ; mais on ne doit pas prendre l’une et l’autre, d’autant que la dernière, en y changeant $k$ en $k-1,$ rentre dans la première.