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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

les des inconnues deviennent

$x={\frac {0}{0}},\qquad y={\frac {0}{0}},\qquad z={\frac {0}{0}}$.

15, Réciproquement, si les relations

${\begin{array}{lll}ad''-da''=0&,\quad bd''-db''=0&,\quad cd''-dc''=0;\\a'd''-d'a''=0&,\quad b'd''-d'b''=0&,\quad c'd''-d'c''=0;\\\end{array}}$

existent, ce qui emportera aussi l’existence des autres, et réduira conséquemment à $x={\frac {0}{0}}$ les valeurs des inconnues ; il arrivera que chacune des trois équations proposée pourra s’obtenir, en multipliant l’une quelconque des deux autres par un multiplicateur convenable ; ainsi, par exemple, on pourra admettre que la troisième est le produit de la première par $x={\frac {d''}{d}}$ et celui de la seconde par $x={\frac {d''}{d'}}$ ; si, en effet, on écrit les équations

${\begin{aligned}a''x+b''y+c''z+d''&={\frac {d''}{d}}(ax+by+cz+d),\\a''x+b''y+c''z+d''&={\frac {d''}{d'}}(a'x+b'y+c'z+d'),\\\end{aligned}}$

elles deviendront, en chassant les dénominateurs, transposant et réduisant,

${\begin{aligned}(a\ d''-d\ a'')x+\,(b\ d''-d\ b'')y+\,(c\ d''-d\ c'')z&=0;\\(a'd''-d'a'')x+(b'd''-d'b'')y+(c'd''-d'c'')z&=0\,;\end{aligned}}$

équation qui, en vertu des relations ci-dessus, se réduisent à $0=0$.

16. Si l’on fait $m=-{\frac {\lambda }{\lambda ''}}$, et $m'=-{\frac {\lambda '}{\lambda ''}}$, les équations de condition prendront cette forme symétrique

${\begin{array}{llll}\lambda a+\lambda ''a''=0,&\ \lambda b+\lambda ''b''=0,&\ \lambda c+\lambda ''c''=0,&\ \lambda d+\lambda ''d''=0~;\\\lambda 'a'+\lambda ''a''=0,&\ \lambda 'b'+\lambda ''b''=0,&\ \lambda 'c'+\lambda ''c''=0,&\ \lambda 'd'+\lambda ''d''=0~;\\\end{array}}$

et alors $\lambda ,\;\lambda ',\;\lambda ''$, pourront, tous trois, être supposés entiers ; on pourra faire, par exemple,

$\lambda =\pm d'd'',\quad \lambda '=\pm d''d,\quad \lambda ''=\mp dd'$

En adoptant cette notation, les relations entre les trois équations deviennent

${\begin{aligned}\lambda (a\ x+\,b\ y+\,c\ z+d\ )+\lambda ''(a''x+b''y+c''z+d'')&=0;\\\lambda '(a'x+b'y+c'z+d')+\lambda ''(a''x+b''y+c''z+d'')&=0;\\\end{aligned}}$