Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/319

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RÉSOLUES.


expliqué (fig. 7), en sorte que sera zéro. Il y a cependant des exceptions que nous allons expliquer.

Soient toujours (fig. 8) l’angle donné, et le point donné, et soit mené  ; si l’on a , la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en  ; de manière que les deux distances et s’évanouiront.

Si l’on a (fig. 8) la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de au-delà de  ; mais, comme alors la distance deviendra négative, cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le cas précédent, laisser le point cherché en .

Si cependant, dans ce cas, l’angle est obtus (fig. 9), le point devra être établi à l’intersection de avec la perpendiculaire abaissée du point sur le prolongement de au-delà de . Alors, seulement sera nul, et tombera hors de l’angle

Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.

1.° Si l’angle , formé par les deux canaux, est moindre que (fig. 5), les deux ponts devront être les pieds et des perpendiculaires et abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera

2.° Si l’angle , formé par les directions des deux canaux, est de (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle à la droite qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant arbitrairement sur cette droite un point entre et , les ponts pourront être établis aux pieds et des perpendiculaires abaissées du point sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec la droite seront les directions des branches de route qui joindront la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,