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RÉSOLUES.

Soit prise pour axe des x la droite indéfinie qui passe par les centres des cercles donnés ; soient $r,r',$ les rayons de ces cercles, et $\alpha ,\alpha '$, les abscisses de leurs centres, leurs équations seront

$(x-\alpha )^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad (x-\alpha ')^{2}+y^{2}=r'^{2}.$

En retranchant ces deux équations l’une de l’autre, on obtiendra, comme l’on sait, celle de la corde commune aux deux cercles ; on aura ainsi

$2(\alpha -\alpha ')x+(r^{2}-\alpha ^{2})-(r'^{2}-\alpha '^{2})=0.$

Si l’on veut profiter de l’indétermination de $\alpha$ et $\alpha '$ pour faire en sorte que la corde commune aux deux cercles devienne l’axe des $y$, il faudra, dans cette équation, faire $x=0,$ ce qui donnera l’équation de relation

$r^{2}-\alpha ^{2}=r'^{2}-\alpha '^{2}~;$

posant donc

$\left.{\begin{aligned}r^{2}\ -\alpha ^{2}\ &=\beta ^{2},\\r'^{2}-\alpha '^{2}&=\beta ^{2}~;\\\end{aligned}}\right\}\quad$d’où$\quad \left\{{\begin{aligned}r^{2}\ &=\beta ^{2}+\alpha ^{2},\\r'^{2}&=\beta ^{2}+\alpha '^{2}~;\\\end{aligned}}\right.$

les équations des deux cercles deviendront

$x^{2}-2\alpha x+y^{2}=\beta ^{2},\qquad x^{2}-2\alpha 'x+y^{2}=\beta ^{2},$

et, comme elles sont satisfaites l’une et l’autre par

$x=0,\qquad y=\pm \beta ,$

il en faut conclure que $\pm \beta$ est l’ordonnée de l’intersection des deux cercles et conséquemment la moitié de leur corde commune.

Présentement, toute droite passant par l’intersection dont l’ordonnée est $+\beta ,$ aura une équation de la forme

$y=ax+\beta ,$

dans laquelle $a$ est tangente de son inclinaison sur l’axe des $x$ ; en combinant successivement cette équation avec celles des deux cercles, on