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NUMÉRIQUES.

fonctions de $x$ qui entrent dans les seconds membres se présente assez naturellement ; on a, par exemple, pour le dernier

${\begin{aligned}57&=5.1+2.26,\\302&=4.26+3.66,\\302&=3.66+4.26,\\57&=2.26+5.1\,;\\\end{aligned}}$

et ainsi des autres. La seconde de ces séries a été donnée par Euler (Inst. calculi differentialis, part. II, chap. VI, §. 163.). De celle-ci j’ai déduit la première, par intégration, et les autres, par des différentiations successives.

9. Si, dans la première de ces séries, on suppose $y=2\phi {\sqrt {-1}},$ on est conduit à celle qui suit :

$\operatorname {Log} .{\frac {\phi }{\operatorname {Sin} .\phi }}=4B_{2}.{\frac {\phi ^{2}}{1.2}}-16B_{4}.{\frac {\phi ^{4}}{1.2.3.4}}+64B_{6}.{\frac {\phi ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots$

Cette série, peu connue, est peut-être la plus convergente de toutes celles qui font connaître le logarithme du sinus d’un angle proposé. La supposition de $y$ imaginaire, appliquée aux autres séries, conduit aussi à des théorèmes fort intéressans.

10. Ayant trouvé le logarithme naturel de la factorielle $a^{y|r}$ égal à

$-y(1-\operatorname {Log} .a)+\left({\frac {t}{r}}-{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .{\frac {t}{a}}-\Gamma {\frac {r}{a}}+\Gamma {\frac {r}{t}},$

la lettre $t$ désignant toujours $a+ry,$ il importe d’examiner ce que devient cette expression, dans le cas d’un exposant imaginaire. Soit donc $y=p+iq,$ la lettre $i$ désignant la racine quarrée de moins un ; on aura

$\operatorname {Log} .\left(a^{p+iq|r}\right)=(p+iq)(\operatorname {Log} .a-1)+\left(p-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {a}{r}}+iq\right)\operatorname {Log} .{\tfrac {a+pr+iqr}{a}}$

$-\Gamma {\frac {r}{a}}+\Gamma {\frac {r}{a+pr+iqr}}.$

Ici, si l’on fait

$k^{2}=(a+pr)^{2}+(qr)^{2},$

$\operatorname {Tang} .\phi ={\frac {qr}{a+pr}},$

on aura