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FACULTÉS

$\operatorname {Log} .(p+iq)!=M+iN,\qquad \operatorname {Log} .(p-iq)!=M-iN.$

Posant, de plus, $p=0,$ ce qui donne

$k^{2}=1+q^{2},\qquad \operatorname {Tang} .\phi =q$

$M={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .k-q\phi -\Gamma 1+B_{2}.{\frac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\frac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,$

$N=-q+{\tfrac {1}{2}}\phi +q\operatorname {Log} .k-B_{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{k}}-B_{4}.{\frac {\operatorname {Sin} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,$

on aura

$\operatorname {Log} .(+iq)!=M+iN,\qquad \operatorname {Log} .(-iq)!=M-iN,$

ce qui donnera encore

$\operatorname {Log} .(+iq)!(-iq)!=2M,\qquad \operatorname {Log} .{\frac {(+iq)!}{(-iq)!}}=-2iN.$

14. Le logarithme de $y!$ pouvant toujours être développé en une série de la forme

$Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,$

on aura dans le cas actuel de $a=r=1,$

${\begin{array}{ll}-\ \ A=\Lambda 1&=B_{1}+B_{2}+B_{4}+B_{6}+\ldots ,\\+2B=1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots &={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+2B_{2}+4B_{4}+6B_{6}+\ldots ,\\-3C=1+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{27}}+{\tfrac {1}{64}}+\ldots &={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+3B_{2}+10B_{4}+21B_{6}+\ldots ,\\+4D=1+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{81}}+{\tfrac {1}{256}}+\ldots &={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+4B_{2}+20B_{4}+56B_{6}+\ldots ,\\-5E=1+{\tfrac {1}{32}}+{\tfrac {1}{243}}+{\tfrac {1}{1024}}+\ldots &={\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{2}}+5B_{2}+35B_{4}+126B_{6}+\ldots ,\\+6F=1+{\tfrac {1}{64}}+{\tfrac {1}{729}}+{\tfrac {1}{4096}}+\ldots &={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{2}}+6B_{2}+56B_{4}+252B_{6}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}$

Les valeurs numériques de toutes ces sommes de puissances sont connues et calculées ; quant à celle de $\Lambda 1,$ elle est

$0,\ 57721\ 56649\ldots$

On sait de plus que les sommes à indice pair sont réductibles aux puissances paires de $\varpi$ ; d’où l’on obtient