Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/130

126

FACULTÉS

${\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {ix}{r}}\right)!\left(f+{\frac {ix}{r}}\right)!}}.$

Les logarithmes des deux facultés du dénominateur sont réductibles aux formes $M-iN$ et $M+iN,$ ce qui rend le logarithme de leur produit égal à $2M.$ Il serait fort à désirer que quelque calculateur courageux voulût calculer les binômes $M+iN=\operatorname {Log} .(iy)!,$ pour toutes les valeurs de $y$ depuis 0 jusqu’à 1, de même que nous devons à M. le professeur Bessel une table des logarithmes de $y!,$ dans le cas d’une base réelle. En attendant, la série (13), qui a l’avantage d’être convergente à volonté, nous fournit un moyen très-expéditif de trouver la valeur numérique de $2M,$ logarithme du produit, $\left(f-{\frac {ix}{r}}\right)!\left(f+{\frac {ix}{r}}\right)!.$ Il faudra, pour en faire usage, déterminer l’angle $\phi$ et le coefficient $k$ de manière qu’on ait

$\operatorname {Tang} .\phi ={\frac {x}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}+x^{2}}{r^{2}}},$

ce qui donne

$k={\frac {a}{r\operatorname {Cos} .\phi }}\,;$

et on aura

$M=-{\tfrac {a}{r}}+1+\left({\tfrac {a}{r}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .k-{\tfrac {x}{r}}\phi -\Gamma 1+B_{2}{\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\tfrac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,$

19. Appliquant la solution de ces deux problèmes au cas particulier de $a=r=\varpi ,$ qui donne $f=0,$ et qui rend (5) la variable $y={\frac {x}{\varpi }}$, d’où $\varpi y=x,$ on sera conduit aux théorèmes très-connus, démontrés par EULER (Introd. in. anali. infin., 1.^re partie, n.^os 156 et suivans.) ; savoir :

$\operatorname {Sin} .\phi =\phi \left(1-{\frac {\phi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{4\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\ldots ,$