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NUMÉRIQUES.

${\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{2}}=\phi \left(1-{\frac {\phi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{4\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\ldots$

20. Si dans (17) on fait $a={\frac {\varpi }{2}},r=\varpi ,$ on aura, d’un côté, le produit

$\left(1-{\frac {4x^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{49\varpi ^{2}}}\right)\ldots$

continué à l’infini, lequel, par conséquent, sera égal à ce que devient la fraction

${\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}},$

par cette supposition qui donne

${\begin{aligned}f&=-{\tfrac {1}{2}}=-1+{\tfrac {1}{2}},\\f+{\frac {x}{r}}&=-{\tfrac {1}{2}}+{\frac {x}{r}}=-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}\right),\\f-{\frac {x}{r}}&=-{\tfrac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}=-1+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}\right).\\\end{aligned}}$

La faculté $f!$ devient ainsi $2({\tfrac {1}{2}})!={\sqrt {\varpi }}.$ La faculté $\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!$ deviendra

${\frac {\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{\varpi }}\right)!}{{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{\varpi }}}},$

et le produit des deux facultés $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{\varpi }}\right){\text{ et }}!\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{\varpi }}\right)!$ sera (16)

${\frac {{\frac {\varpi }{2}}-x}{\operatorname {Sin} .\left({\frac {\varpi }{2}}-x\right)}}={\frac {{\frac {\varpi }{2}}-x}{\operatorname {Cos} .x}}.$

Après avoir employé toutes ces réductions, on sera conduit au théorème très-connu,