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FACULTÉS

$\operatorname {Cos} .\varphi =\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\ldots$

21. Et si, dans cette dernière formule, on change $\phi$ en $i\varphi ,$ elle deviendra

${\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{2}}=\left(1+{\frac {4\varphi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{49\varpi ^{2}}}\right)\ldots \,;$

formule connue depuis l’analise d’Euler.

22. Les formules (17) et (19) nous conduisent aux deux théorèmes qui suivent

$h!(1-h)!={\frac {h(1-h)}{\operatorname {Sin} .h\varpi }}.\varpi \,;$

$\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)!\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)}{\operatorname {Cos} .h\varpi }}.\varpi .$

Ces deux formules, qui sont identiques entre elles, procureront à ceux qui voudront s’occuper de la construction d’une table des facultés, pour les fractions décimales comprises entre 0 et 1, l’avantage précieux de diminuer leur travail de moitié, en ne les obligeant à le pousser que jusqu’à $h={\tfrac {1}{2}}=0,5\,;$ ce qui donnera, en outre, une grande convergence à la série qu’on est obligé d’employer pour le calcul de cette table. En changeant $h$ en $ih,$ on aura pareillement

$(ih)!(1-ih)!={\frac {2h(1-ih)}{e^{h\varpi }-e^{-h\varpi }}}.\varpi \,;$

$\left({\tfrac {1}{2}}-ih\right)!\left({\tfrac {1}{2}}+ih\right)!={\frac {2\left({\tfrac {1}{2}}-ih\right)\left({\tfrac {1}{2}}+ih\right)}{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}.\varpi ={\frac {2\left({\tfrac {1}{4}}+h^{2}\right)}{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}.\varpi .$

23. Le théorème suivant mérite d’être remarqué ; il concerne le produit $x!y!$ de deux facultés dans lesquelles la somme $x+y$ des exposans est un nombre entier quelconque, pair ou impair.

Dans le cas d’une somme paire, soient $x=a+h,y=a-h,$ et par conséquent $x+y=2a$ ; la lettre $a$ pourra alors désigner un nombre entier quelconque, et $h$ une fraction moindre que l’unité. Cela posé, on a