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DES SPHÈRES.

$\rho '''$ les distances de son centre à ceux des quatre sphères données. Cela posé, on aura

$R\mp r=\rho ,\quad R\mp r'=\rho ',\quad R\mp r''=\rho '',\quad R\mp r'''=\rho '''.\qquad$(1)

Ces quatre équations, avec leurs doubles signes, fournissent seize combinaisons différentes, qui correspondent à autant de solutions du problème. Nous nous bornerons au cas des signes supérieurs, attendu que les autres peuvent se traiter de la même manière.

En retranchant la première de ces équations de chacune des trois autres, et posant, pour abréger,

${\begin{array}{rlrlrl}r-r'&=2d,&r-r''&=2d',&r-r'''&=2d'',\\{\text{il vient }}\rho '&=\rho +2d,&\rho ''&=\rho +2d',&\rho '''&=\rho +2d'',\quad (2)\\\end{array}}$

Mais on a d’un autre côté

$\left.{\begin{aligned}\rho '^{2}&=\rho ^{2}+4a^{2}-4a\rho \operatorname {Cos} .(\rho ,a),\\\rho ''^{2}&=\rho ^{2}+4b^{2}-4b\rho \operatorname {Cos} .(\rho ,b),\\\rho '''^{2}&=\rho ^{2}+4c^{2}-4c\rho \operatorname {Cos} .(\rho ,c),\\\end{aligned}}\right\}\quad (3)$

Égalant ces valeurs aux quarrés des équations (2), on trouve

$\left.{\begin{aligned}\rho \left\{a\operatorname {Cos} .(\rho ,a)+d\right\}&=a^{2}-d^{2},\\\rho \left\{b\operatorname {Cos} .(\rho ,b)+d'\right\}&=b^{2}-d'^{2},\\\rho \left\{c\operatorname {Cos} .(\rho ,c)+d''\right\}&=c^{2}-d''^{2},\\\end{aligned}}\right\}\quad (4)$

Si, entre ces trois équations, on élimine $p,$ on obtient les trois équations suivantes, dont une quelconque est une suite des deux autres.

$\left.{\begin{aligned}\left({\tfrac {b^{2}-d'^{2}}{b}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,a)-\left({\tfrac {a^{2}-d'^{2}}{a}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,b)&={\tfrac {d'}{b}}\left({\tfrac {a^{2}-d^{2}}{a}}\right)-{\tfrac {d}{a}}\left({\tfrac {b^{2}-d'^{2}}{b}}\right),\\\left({\tfrac {c^{2}-d''^{2}}{c}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,b)-\left({\tfrac {b^{2}-d'^{2}}{b}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,c)&={\tfrac {d''}{c}}\left({\tfrac {b^{2}-d'^{2}}{b}}\right)-{\tfrac {d'}{b}}\left({\tfrac {c^{2}-d''^{2}}{c}}\right),\\\left({\tfrac {a^{2}-d^{2}}{a}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,c)-\left({\tfrac {c^{2}-d''^{2}}{c}}\right)\operatorname {Cos} .(\rho ,a)&={\tfrac {d}{a}}\left({\tfrac {c^{2}-d''^{2}}{c}}\right)-{\tfrac {d''}{c}}\left({\tfrac {a^{2}-d''^{2}}{a}}\right).\\\end{aligned}}\right\}(\mathrm {5} )$

Tout ceci suffit, pour la construction géométrique du problème ; comme je l’ai fait voir en l’endroit cité de la Correspondance. En y ajoutant la relation qui existe entre les angles que la droite $\rho$ fait avec les