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DE L’ÉLIMINATION.
ayant l’attention de diviser chaque reste, à mesure qu’on opère, par le quarré du coefficient du premier terme de celui des restes précédens dont l’ordre numéral est moins élevé de deux unités ; outre que les calculs deviendront plus simples, l’équation finale en 
se trouvera absolument délivrée de toute solution étrangère.
Voyons présentement quel sera le degré de cette équation finale.
Représentons simplement les deux équations proposées comme il suit :
et supposons qu’on opère exactement comme il vient d’être prescrit.
Voici le tableau des dividendes successifs égalés aux produits des diviseurs par les quotiens, augmentés des restes dans lesquels on a mis en évidence le facteur à supprimer :
![{\displaystyle =\left\{x^{n}+\ldots \right\}\left\{x^{m-n}+\ldots \right\}+\left\{\left[y^{m-n+1}+\ldots \right]x^{n-1}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672618a88274d05225088c6383a49e9a170a0c1e)
![{\displaystyle \left[y^{m-n+1}+\ldots \right]^{2}\left\{x^{n}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc628c161d2fc9ad9237c09e8d265352c54441a5)
![{\displaystyle =\left\{\left[y^{m-n+1}+\ldots \right]x^{n-1}+\ldots \right\}\left\{\left[y^{m-n+1}+\ldots \right]x+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61910ba491864994732d1f256da1cffe7c059899)
![{\displaystyle +\left\{\left[y^{2(m-n+2)}+\ldots \right]x^{n-2}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b25c1b51f92cf9ff11710b072f3d3140a37b14b)
![{\displaystyle \left[y^{2(m-n+2)}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{m-n+2}+\ldots \right]x^{n-1}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb7c24d9da3f5c51d0db39e297d0c40dfc43eef)
![{\displaystyle =\left\{\left[y^{2(m-n+2)}+\ldots \right]x^{n-2}+\ldots \right\}\left\{\left[y^{3(m-n+5)}+\ldots \right]x+\ldots \right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d438ee471dd29af4a0f4998289339494baaf2a11)
![{\displaystyle +\left[y^{m-n+1}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{3(m-n+3)}+\ldots \right]x^{n-3}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66686c5e780aac4390e084dd386afce77bf04082)
![{\displaystyle \left[y^{3(m-n+3)}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{2(m-n+2)}+\ldots \right]x^{n-2}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02674a8bd433f3c254b998fedb7b4d3d187fd94a)
![{\displaystyle =\left\{\left[y^{3(m-n+3)}+\ldots \right]x^{n-3}+\ldots \right\}\left\{\left[y^{5(m-n)+13)}+\ldots \right]x+\ldots \right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b4c4a5003adf7b96b67e073a4c1350eb9b73b2)
![{\displaystyle +\left[y^{2(m-n+2)}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{4(m-n+4)}+\ldots \right]x^{n-4}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7a5b23920e3d744d505c8770486f353a4cdd3a)
![{\displaystyle \left[y^{4(m-n+4)}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{3(m-n+3)}+\ldots \right]x^{n-3}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7633dfec8664c13269562846bd748db6d486b3a)
![{\displaystyle =\left\{\left[y^{4(m-n+4)}+\ldots \right]x^{n-4}+\ldots \right\}\left\{\left[y^{7(m-n)+25)}+\ldots \right]x+\ldots \right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1302d32e76235a3c32708613dc43f3f9b1d4bcb1)
![{\displaystyle +\left[y^{3(m-n+3)}+\ldots \right]^{2}\left\{\left[y^{5(m-n+5)}+\ldots \right]x^{n-5}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476d8fbf358cbeda35664abfd3e2c8b1997bd020)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On voit par là que la forme générale des restes successifs est
![{\displaystyle \left[y^{k(m-n+k)}+\ldots \right]x^{n-k}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1535a62c47a7ac81af36a43f7466c44d0038a2)
on en déduira la forme du dernier reste en remarquant que, ce dernier reste ne devant plus renfermer 
, la valeur de 
qui lui est relative, doit être déterminée par la condition 
d’où 
et 
; l’équation finale en 
qui n’est autre chose que ce dernier reste égal à zéro, doit donc être de la forme
