On a la proportion donc Partant : l’angle solide au sommet de cette pyramide vaut le tiers de deux octans ou le douzième de huit octans ; et douze de ces angles solides remplissent l’espace autour d’un point.
Application. Douze de ces pyramides, égales entre elles, disposées autour d’un même point, qui est leur sommet commun, forment le dodécaèdre-icosagone régulier.
Il est facile d’appliquer les premiers principes de la trigonométrie sphérique, relative aux triangles rectangles, à cette manière de concevoir la génération des solides réguliers.
En effet, par une des arêtes latérales de la pyramide, soit mené un plan perpendiculaire à la base. Il se forme, à l’extrémité de cette arête, un angle solide triangulaire, dont deux des faces sont perpendiculaires l’une à l’autre ; un des angles solides dièdres restans est connu : savoir, la demi-inclinaison de deux faces latérales de la pyramide ; un des angles plans est aussi connu, savoir, le demi-angle de la base de la pyramide. De là on détermine l’inclinaison d’une face à la base, ou la demi-inclinaison de deux faces du polyèdre ; et, partant aussi, le rapport du rayon du cercle inscrit à la face du polyèdre au rayon de la sphère inscrite. On détermine aussi l’angle plan de cet angle solide, dans le plan perpendiculaire à la base, ou l’inclinaison d’une arête latérale de la pyramide au plan de la base ; et partant, le rapport du rayon du cercle circonscrit à une face du solide au rayon de la sphère circonscrite. Enfin, on détermine l’angle à la base de chaque face de la pyramide. On obtient donc tous les élémens du solide, et en particulier sa capacité, relativement à l’une de ses dimensions.
Cette manière de concevoir la composition des solides réguliers, s’étend aussi à la composition d’autres polyèdres, faite sous des conditions données. Il me suffira d’en donner deux exemples.
1.o Soit une pyramide droite à base rhomboïde. Que l’inclinaison de deux faces adjacentes à l’un des angles obtus de la base, vaille le tiers de quatre droits, et que l’inclinaison de deux faces adjacentes
