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SÉPARATION

(21)$\quad {\frac {\varpi }{4}}\alpha =\operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {1}{3^{2}}}\operatorname {Sin} .3\alpha +{\frac {1}{5^{2}}}\operatorname {Sin} .5\alpha -{\frac {1}{7^{2}}}\operatorname {Sin} .7\alpha +\ldots$

En la mettant sous la forme exponentielle, elle devient

${\frac {\varpi }{2}}\alpha {\sqrt {-1}}=\left(e^{\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\left(e^{3\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-3\alpha {\sqrt {-1}}}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\left(e^{5\alpha {\sqrt {-1}}}-e^{-5\alpha {\sqrt {-1}}}\right)-\ldots$

Soit $\alpha {\sqrt {-1}}=\partial$ ; à cause de $e^{\partial }=\mathrm {E} ,$ on aura

${\frac {\varpi }{2}}\partial =\left(\mathrm {E} ^{1}-\mathrm {E} ^{-1}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\left(\mathrm {E} ^{3}-\mathrm {E} ^{-3}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\left(\mathrm {E} ^{5}-\mathrm {E} ^{-5}\right)-\ldots \,;$

ou, en multipliant par $\phi x$, et effectuant les opérations indiquées par les caractéristiques $\mathrm {E} ,$

$(22)\ {\tfrac {\varpi }{2}}\partial \phi x=\left\{\phi (x+1)-\phi (x-1)\right\}-{\tfrac {1}{3^{2}}}\left\{\phi (x+3)-\phi (x-3)\right\}+\ldots$

Si, 1.^o on fait $\phi x=x$, on obtient la formule de Leibnitz,

${\frac {\varpi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ldots$

Si, 2.^o on fait $\phi x={\frac {1}{x}}$, on trouve, en divisant par 2,

$(23)\ {\frac {\varpi }{4}}.{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}-1}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{x^{2}-3^{2}}}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{x^{2}-5^{2}}}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1}{x^{2}-7^{2}}}+\ldots$

ou bien, en faisant ${\frac {1}{x^{2}}}=-a,$

(24)$\quad {\frac {\varpi }{4}}={\frac {1}{1+a}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{1+3^{2}a}}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{1+5^{2}.a}}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1}{1+7^{2}a}}+\ldots$

où la quantité $a$ demeure absolument arbitraire. Si l’on fait $a=0,$ on retrouve la série de Leibnitz.

Si, 3.^o on fait $\phi x=\operatorname {Log} .x$, on aura

(25)$\quad {\frac {\varpi }{2}}.{\frac {1}{x}}=\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+1}{x-1}}\right)-{\frac {1}{3^{2}}}\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+3}{x-3}}\right)+{\frac {1}{5^{2}}}\operatorname {Log} .\left({\tfrac {x+5}{x-5}}\right)-\ldots$

En faisant ${\frac {1}{x}}=a{\sqrt {-1}},$ et divisant par 2, on obtient

$(26)\quad {\tfrac {\varpi }{4}}a=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=a)-{\tfrac {1}{3^{2}}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=3a)+{\tfrac {1}{5^{2}}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=5a)-\ldots$

On voit, par cet exemple, avec quelle facilité on déduit les for-