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SÉPARATION

$(68)\qquad \mathrm {E} ^{1,}=1+\Delta ^{1,}=e^{\partial ^{1,}},\qquad \mathrm {E} ^{,1}=1+\Delta ^{,1}=e^{\partial ^{,1}}.$

Ces équations, combinées avec celles (65) et (67), donnent

$(69)\qquad \mathrm {E} =e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}=e^{\partial ^{1,}}.e^{\partial ^{,1}}=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}=\left(1+\Delta ^{1,}\right)\left(1+\Delta ^{,1}\right),$

$(70)\ \Delta =\mathrm {E} -1=e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)\left(1+\Delta ^{,1}\right)-1$

$=\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\Delta ^{,1}=\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}.\mathrm {E} ^{1,}=\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}\,;$

d’où l’on tire

$(71)\ \Delta ^{m}=\left(e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1\right)^{m}=\left(\Delta ^{1,}+\Delta ^{,1}.\mathrm {E} ^{1,}\right)^{m}=\left(\Delta ^{,1}+\Delta ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}\right)^{m}.$

21. Lorsque les accroîssemens des variables ne sont plus égaux à l’unité, et représentés par $\xi ,$ pour celui de $x,$ et par $\nu ,$ pour celui de $y,$ nous indiquerons les états variés partiels par $\mathrm {E} ^{\xi ,}$ et $\mathrm {E} ^{,\nu },$ les différences partielles par $\Delta _{\xi ,}^{1,}$ et $\Delta _{,\nu }^{,1},$ l’état varié total par $\mathrm {E} ^{\xi ,\nu }$ et la différence totale par $\Delta _{\xi ,\nu }.$ De cette manière, la notation indique, en même temps, la valeur des accroîssemens des variables ; ce qui est nécessaire, comme on va le voir par les relations suivantes :

$(72)\ \mathrm {E} ^{\xi ,}=1+\Delta _{\xi ,}^{1,}=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }=e^{\xi \partial ^{1,}},\quad \mathrm {E} ^{,\nu }=1+\Delta _{,\nu }^{,1}=\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }=e^{\nu \partial ^{,1}}.$

$(73)\ \mathrm {E} ^{\xi ,\nu }=1+\Delta _{\xi ,\nu }=\mathrm {E} ^{\xi ,}.\mathrm {E} ^{,\nu }=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }=e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}.$

De là on déduit

$(74)\ \Delta _{\xi ,}^{1,}=\mathrm {E} ^{\xi ,}-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }-1=e^{\xi \partial ^{1,}}-1,$

$\Delta _{,\nu }^{,1}=\mathrm {E} ^{,\nu }-1=\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1=e^{\nu \partial ^{,1}}-1$

$(75)\ \Delta _{\xi ,\nu }=\mathrm {E} ^{\xi ,\nu }-1=\mathrm {E} ^{\xi ,}.\mathrm {E} ^{,\nu }-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)-1=\left(1+\Delta ^{1,}\right)^{\xi }\left(1+\Delta ^{,1}\right)^{\nu }-1$

$=\Delta _{\xi ,}^{1,}+\Delta _{,\nu }^{,1}\mathrm {E} ^{\xi ,}=\Delta _{,\nu }^{,1}+\Delta _{\xi ,}^{1,}\mathrm {E} ^{,\nu }=e^{\xi \partial ^{1,}+\nu \partial ^{,1}}-1.$

$(76)\ \Delta ^{1,}=\mathrm {E} ^{1,}-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}-1=e^{\partial ^{1,}}-1,$

$\Delta _{,1}^{,1}=\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}-1=e^{\partial ^{1,}}-1$

$(77)\ \Delta =\mathrm {E} -1=\mathrm {E} ^{1,}.\mathrm {E} ^{,1}-1=\left(1+\Delta _{\xi ,}^{1,}\right)^{\frac {1}{\xi }}\left(1+\Delta _{,\nu }^{,1}\right)^{\frac {1}{\nu }}-1=e^{\partial ^{1,}+\partial ^{,1}}-1.$

Et de là on tire