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FRACTIONS

$B,C,\ldots$ les numérateurs des fractions partielles qui doivent respectivement avoir ces facteurs pour dénominateurs ; on aura

${\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {A}{x-a}}+{\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{x-c}}+\ldots ,$

d’où on conclura, en chassant les dénominateurs, et se rappelant que $\phi x=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots$

${\begin{aligned}\psi x&=A(x-b)(x-c)\ldots \\&+B(x-a)(x-c)\ldots \\&+C(x-a)(x-b)\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Cette équation étant identique, elle devra subsister encore, en y mettant successivement pour $x$ les quantités $a,b,c,\ldots$ ; observant donc que chacune de ces substitutions fait disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, il viendra

${\begin{aligned}\psi a&=A(a-b)(a-c)\ldots ,\\\psi b&=B(b-a)(b-c)\ldots ,\\\psi c&=C(c-a)(c-b)\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

D’un autre côté, en différentiant l’équation identique

$\phi x=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots ,$

on obtient cette autre équation identique

${\begin{aligned}\phi 'x&=(x-b)(x-c)\ldots \\&+(x-a)(x-c)\ldots \\\end{aligned}}$