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PÔLES DES LIGNES

dont il s’agit est identique avec le plan (q) ; ce qui déterminera les trois coordonnées $\alpha ,\beta ,\gamma$ de ce centre.^[1]

Supposons présentement que le point (p) soit variable, alors le plan (q) le sera aussi ; assujettissons-le néanmoins, dans ses variations, à passer constamment par un certain point (P), ayant $g,h$ et $k$ pour ses coordonnées ; nous exprimerons cette circonstance par l’équation unique

$(2a\alpha +d)g+(2b\beta +e)h+(2c\gamma +f)k+d\alpha +e\beta +f\gamma =0,$

ou

$(2ag+d)\alpha +(2bh+e)\beta +(2ck+f)\gamma +dg+eh+fk=0\,;$

cette équation exprimant une relation constante entre les coordonnées $\alpha ,\beta$ et $\gamma ,$ du point (p) ; en y changeant ces coordonnées en $x,y$ et $z,$ elle deviendra celle du lieu (Q) de tous les points (p) qui répondent aux diverses situations que peut prendre le plan (q) autour du point (P) ; l’équation de ce lieu (Q) sera donc

$(2ag+d)x+(2bh+e)y+(2ck+f)z+dg+eh+fk=0,\qquad$(Q)

équation d’un plan.

De là résulte le théorème suivant :

THÉORÈME. Si, par un point pris arbitrairement dans l’espace, on conduit à une surface du second ordre une suite de plans sécants ; et que l’on considère leurs intersections avec cette surface comme les lignes de contact d’une suite de surfaces coniques circonscrites ; les centres ou sommets de ces surfaces coniques se trouveront tous situés sur un même plan.

Si, au lieu d’assujettir le plan (q) à passer seulement par un point (P), on l’assujettissait à passer par une certaine droite (M) ; en désignant par (P) et (P’) deux points de cette droite, et supposant que leurs coordonnées sont $g$ et $g',$ $h$ et $h',$ $k$ et $k'\,;$ le

1. On peut faire ici des remarques analogues à celles qui ont été faites dans la note de la page 296.