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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

soient $g,h,k,$ le plan polaire (Q), correspondant à ce pôle, a pour équation

$(2ag+d)x+(2bh+e)y+(2ck+f)z+dg+eh+fk=0\,;\quad$^[1]$\quad$(Q)

Si l’on suppose $d$ et $e$ égaux à zéro, les équations (S) et (Q) deviendront

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+fz=0,\qquad 2agx+2bhy+(2ck+f)z+fk=0.$

Les deux diamètres auxquels les axes des $x$ et des $y$ seront alors parallèles, auront pour leur conjugué l’axe des $z.$

Les choses étant dans cet état, si l’on veut que le plan (Q) soit parallèle à celui des $xy,$ il faudra que les termes en $x$ et en $y$ disparaissent de son équation ; on devra donc avoir $g=0,h=0$ ; réciproquement toutes les fois que $g$ et $h$ seront nuls, quel que soit d’ailleurs $k,$ le plan (Q) deviendra parallèle au plan des $xy.$ De là résulte le théorème suivant :

THÉORÈME. Lorsque trois diamètres d’une surface du second ordre sont conjugués, tout plan parallèle à celui de deux de ces diamètres a son pôle sur le troisième ; et réciproquement.

Donc, si un plan se meut parallèlement à lui-même, son pôle sera mû suivant le diamètre qui joint les points de contact des deux plans tangens parallèles à la direction constante de celui-là.

Dans le cas particulier où la surface est un paraboloïde, la supposition $d=0,et=0$ entraîne $c=0$ ; en supposant donc toujours $g=0,h=0,$ l’équation de (Q) se réduit à $z=-f,$ ce qui prouve que, dans le paraboloïde, la portion du diamètre comprise entre le plan et son pôle est coupée en deux parties égales par cette surface.

1. Voyez le précédent mémoire.
   J. D. G.