Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/330

322

QUESTIONS

M. Français démontre ce dernier de la manière suivante. Soient $\alpha$ l’angle que fait $\mathrm {AF}$ avec les trois faces latérales, et $\phi$ l’angle que fait la même droite avec le plan de la base. Soit projeté orthogonalement le tétraèdre sur un plan perpendiculaire à cette droite $\mathrm {AF}$ ; les projections des faces latérales se confondront avec les projections des segmens de la base ; et l’on aura, par un principe connu,

$Aire\mathrm {B'F'C'} =Aire\mathrm {BAC} .\operatorname {Sin} .\alpha =Aire\mathrm {BFC} .\operatorname {Sin} .\phi ,$

$Aire\mathrm {C'F'D'} =Aire\mathrm {CAD} .\operatorname {Sin} .\alpha =Aire\mathrm {CFD} .\operatorname {Sin} .\phi ,$

$Aire\mathrm {D'F'B'} =Aire\mathrm {DAB} .\operatorname {Sin} .\alpha =Aire\mathrm {DFB} .\operatorname {Sin} .\phi ,$

d’où on conclura, sur-le-champ,

$Aire\mathrm {BAC} :Aire\mathrm {CAD} :Aire\mathrm {DAB} ::Aire\mathrm {BFC} :Aire\mathrm {CFD} :Aire\mathrm {DFB} .$

Ces diverses considérations peuvent, pour la plupart, être employées à démontrer, autrement qu’en ne le fait communément, que la droite qui divise l’un des angles d’un triangle en deux parties égales, partage le côté opposé en deux segmens proportionnels aux côtés correspondans.

M. Le Grand, à qui l’on doit les deux élégans théorèmes qui font le sujet de cet article, remarque que, de même que de celui qui vient d’être rappelé, et qui est leur correspondant dans la géométrie plane, il résulte que le centre des moyennes distances du contour d’un triangle est le centre du cercle inscrit au triangle dont les sommets seraient les centres des moyennes distances des côtés du premier^[1] ; on peut semblablement conclure de ces deux-ci, que le centre des moyennes distances de la surface d’un tétraèdre est le centre de la sphère inscrite au tétraèdre qui aurait

1. Voyez les Élémens de statique de M. Poinsot, page 172.