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FACULTÉS

$-{\frac {y^{2}(y^{2}-1)(y^{2}-4)}{2h(h+1)}}\left\{{\frac {1}{3(h+2)}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {3}{(h+2)(h-1)^{2}}}\right\}$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

or,

${\frac {1}{h}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {1}{h(h-1)^{2}}}={\frac {1}{h-1}},$

${\frac {1}{2(h+1)}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {2}{(h+1)(h-1)^{2}}}={\frac {1}{2(h-1)}},$

${\frac {1}{3(h+2)}}+{\frac {1}{(h-1)^{2}}}-{\frac {3}{(h+2)(h-1)^{2}}}={\frac {1}{3(h-1)}},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

ce produit sera donc, en effet,

$1-{\frac {y^{2}}{(h-1)}}+{\frac {y^{2}(y^{2}-1)}{2(h-1)h}}-{\frac {y^{2}(y^{2}-1)(y^{2}-4)}{2.3(h-1)h(h+1)}}+\ldots \,;$

conformément à la nature du problème.

9. Il suit des résultats que nous venons d’obtenir, qu’en faisant $y$ égal à un nombre entier quelconque, positif ou négatif, le produit $P,$ continué à l’infini, est toujours une quantité entièrement rationnelle, quel que soit $h$^[1]. Il s’ensuit encore qu’en faisant $y$ égal à $h$ plus ou moins un nombre entier quelconque, la valeur de la série, développement de $P,$ est constamment zéro. Nous remarquerons encore que, lorsque $h$ est un nombre entier quelconque, cette série est égale à ${\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}$ multiplié par quelque facteur entièrement rationnel ; et que, lorsque $y$ est un nombre entier, plus la fraction ${\tfrac {1}{2}},$ cette même série est toujours un multiple de $\operatorname {Cos} .\varpi y.$

1. Pourvu cependant que $h$ ne soit point un nombre entier négatif.
   J. D. G.