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NUMÉRIQUES.

$-{\frac {2n-1}{1}}.{\frac {2n-2}{2}}.{\frac {2n-3}{3}}(n-1)(n-2)(n-3)y^{2n-4|1}$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Pour multiplier cette série par $y,$ remarquons que

${\begin{aligned}y.y^{2n-1|1}&=y^{2n|1}-(2n-1).y^{2n-1|1},\\y.y^{2n-2|1}&=y^{2n-1|1}-(2n-2).y^{2n-2|1},\\y.y^{2n-3|1}&=y^{2n-2|1}-(2n-3).y^{2n-3|1},\\y.y^{2n-4|1}&=y^{2n-3|1}-(2n-4).y^{2n-4|1},\\\end{aligned}}$

au moyen de ces réductions, on trouvera

$y^{2}\left\{y^{2}-1\right\}\left\{y^{2}-4\right\}\left\{y^{2}-9\right\}\ldots \left\{y^{2}-(n-1)^{2}\right\}$

${\begin{aligned}=y^{2n|1}&-{\frac {2n-1}{1}}ny^{2n-1|1}\\&+{\frac {2n-1}{1}}.{\frac {2n-2}{2}}n(n-1)y^{2n-2|1}\\&-{\frac {2n-1}{1}}.{\frac {2n-2}{2}}.{\frac {2n-3}{3}}n(n-1)(n-2)y^{2n-3|1}\\&+{\frac {2n-1}{1}}.{\frac {2n-2}{2}}.{\frac {2n-3}{3}}.{\frac {2n-4}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)y^{2n-4|1}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

L’application aux cas particuliers de l’exposant $n$ est facile. Comme la formule, finalement développée, ne doit renfermer que les puissances paires de $y,$ et qu’ainsi les termes qui composent les coefficiens des puissances impaires doivent tous se détruire mutuellement, il en résulte une suite de théorèmes particuliers que nous laissons à découvrir au lecteur.

14. Il peut importer de connaître le logarithme naturel de la fonction

$P={\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}}.$

On trouve, par les formules connues,