Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/344

336

FACULTÉS

$Log.P=yLog.{\frac {h-y}{h+y}}+(h-{\tfrac {1}{2}})Log.{\frac {h^{2}}{h^{2}-y^{2}}}$

$-\Gamma {\frac {1}{h-y}}+2\Gamma {\frac {1}{h}}-\Gamma {\frac {h+y}{1}}.$^[1]

Cette expression est réductible en série de la forme

$-Log.P=A{\frac {y^{2}}{h^{2}}}+B{\frac {y^{4}}{h^{4}}}+C{\frac {y^{6}}{h^{6}}}+D{\frac {y^{8}}{h^{8}}}+\ldots$

dans laquelle on a

${\begin{aligned}A&=h+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {2B_{2}}{h}}+{\frac {12B_{4}}{3h^{3}}}+{\frac {30B_{6}}{5h^{5}}}+{\frac {56B_{8}}{7h^{7}}}+\ldots ,\\B&={\frac {h}{6}}+{\tfrac {1}{4}}+{\frac {2B_{2}}{h}}+{\frac {30B_{4}}{3h^{3}}}+{\frac {140B_{6}}{5h^{5}}}+{\frac {420B_{8}}{7h^{7}}}+\ldots ,\\C&={\frac {h}{15}}+{\tfrac {1}{6}}+{\frac {2B_{2}}{h}}+{\frac {56B_{4}}{3h^{3}}}+{\frac {420B_{6}}{5h^{5}}}+{\frac {1848B_{8}}{7h^{7}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

$B_{2},B_{4},B_{6},\ldots$ étant les Nombres de Bernoulli. La convergence de ces séries dépendant de la grandeur du nombre désigné par $h,$ elles peuvent être considérées comme convergentes à volonté.

15. Il a été prouvé, en son lieu, que le théorème binomial est applicable aux factorielles. La fonction

$P={\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}},$

admet un théorème parfaitement analogue. Pour l’exposer, avec clarté, désignons par $A,B,C,D,\ldots$ respectivement les facteurs $y^{2},\ y^{2}-1,\ y^{2}-4,\ y^{2}-9,\ldots$ et par $N,O,P,Q,\ldots$, les facteurs $y^{2}-n^{2},\ y^{2}-(n+1)^{2},\ y^{2}-(n+2)^{2},\ y^{2}-(n+3)^{2},\ldots$ de manière qu’on ait

${\begin{aligned}A&=y^{2},&&N=y^{2}-n^{2}\qquad ,\\B&=y^{2}-1,&&O=y^{2}-(n+1)^{2},\\C&=y^{2}-4,&&P=y^{2}-(n+2)^{2},\\D&=y^{2}-9,&&Q=y^{2}-(n+3)^{2},\\E&=y^{2}-16,&&R=y^{2}-(n+4)^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

1. Voyez les précédens mémoires.