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ÉLIMINATION

$\left.{\begin{aligned}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+\ldots &=k_{1},\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+\ldots &=k_{2},\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+\ldots &=k_{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\a_{m}x+b_{m}y+c_{m}z+\ldots &=k_{m}.\\\end{aligned}}\right\}\qquad (3)$

En prenant la somme de leurs produits respectifs par $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{m},$ et ayant égard aux équations (1 et 2), il viendra

$Dx=A_{1}k_{1}+A_{2}k_{2}+A_{3}k_{3}+\ldots A_{m}k_{m}\,;\qquad$(4)

d’où

$x={\frac {A_{1}k_{1}+A_{2}k_{2}+A_{3}k_{3}+\ldots A_{m}k_{m}}{A_{1}a_{1}+A_{2}a_{2}+A_{3}a_{3}+\ldots A_{m}a_{m}}}$

Ainsi le dénominateur commun des valeurs des inconnues n’est autre chose que le polynôme $D$ ; et on en conclut le numérateur de la valeur de chacune d’elles, en y mettant la lettre qui représente le terme tout comme à la place de celle qui représente le coefficient de cette inconnue, toujours sans toucher aux indices.

14. Si, dans les équations (3), on change $k_{1},k_{2},k_{3},\ldots k_{m}$ en $-k_{1}\nu ,-k_{2}\nu ,-k_{3}\nu ,\ldots -k_{m}\nu ,\ \nu$ étant une $(m+1)^{me}$ inconnue, ces équations, toujours au nombre de $m,$ deviendront

$\left.{\begin{aligned}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+\ldots +k_{1}\nu &=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+\ldots +k_{2}\nu &=0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\end{aligned}}\right\}\qquad (5)$

et donneront, par un semblable changement opéré dans l’équation (4),