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THÉORIE GÉNÉRALE

30. THÉORÈME. Si une équation, dont les coefficiens sont réels, a une racine égale à $a+b{\sqrt {-1}}.$ , elle en a nécessairement une autre égale à $a-b{\sqrt {-1}}.$

Démonstration. Puisque $a+b{\sqrt {-1}}$ est racine de l’équation proposée, le premier membre de cette équation doit être divisible par $x-b-{\sqrt {-1}}$ ; et, en exécutant la division par ce diviseur, on obtiendra (26) un quotient de la forme $P+Q{\sqrt {-1}}.$

Or, le produit de $x-a-b{\sqrt {-1}}$ par $P+Q{\sqrt {-1}}$ est

\left\{P(x-a)+Qb\right\}+\left\{Q(x-a)-Pb\right\}{\sqrt {-1}}\,;

quantité qui, par hypothèse, doit être nulle. Égalant donc séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire, nous aurons les deux équations

P(x-a)+Qb=0,\qquad Q(x-a)-Pb=0,

entre lesquelles éliminant $P,$ il viendra

(x-a)^{2}+b^{2}=0:

donc $x-a=\pm b{\sqrt {-1}}$ et $x=a\pm b{\sqrt {-1}}.$

Donc, si la proposée a une racine $x=a+b{\sqrt {-1}}$ , elle en a nécessairement une autre $x=a-b{\sqrt {-1}}.$ ^[1]

↑ On peut encore démontrer de cette autre manière que, généralement, toute quantité réelle $R$ divisible exactement par $a+b{\sqrt {-1}}$ l’est aussi nécessairement par $a-b{\sqrt {-1}},$ et par conséquent par le produit de ces deux diviseurs, si du moins $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Concevons que l’on fasse la division de $R$ par $a+b{\sqrt {-1}},$ les termes du quotient ne pourront être que des quatre formes suivantes

$c,\quad d\left({\sqrt {-1}}\right)^{\alpha },\quad {\frac {e}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\beta }}},\quad {\mathcal {f}}{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{\gamma }}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\delta }}},$

lesquels seront tous conséquemment réductibles à l’une des deux formes $g$ et $h{\sqrt {-1}}$ ; par où l’on voit que ce quotient pourra être représenté par $p+q{\sqrt {-1}}.$ On aura donc

$R=\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(p+q{\sqrt {-1}}\right)=(ap-bq)+(aq+bp){\sqrt {-1}},$

et, puisque $R$ est réelle, on devra avoir

[p232-1] On peut encore démontrer de cette autre manière que, généralement, toute quantité réelle $R$ divisible exactement par $a+b{\sqrt {-1}}$ l’est aussi nécessairement par $a-b{\sqrt {-1}},$ et par conséquent par le produit de ces deux diviseurs, si du moins $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Concevons que l’on fasse la division de $R$ par $a+b{\sqrt {-1}},$ les termes du quotient ne pourront être que des quatre formes suivantes

$c,\quad d\left({\sqrt {-1}}\right)^{\alpha },\quad {\frac {e}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\beta }}},\quad {\mathcal {f}}{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{\gamma }}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{\delta }}},$

lesquels seront tous conséquemment réductibles à l’une des deux formes $g$ et $h{\sqrt {-1}}$ ; par où l’on voit que ce quotient pourra être représenté par $p+q{\sqrt {-1}}.$ On aura donc

$R=\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(p+q{\sqrt {-1}}\right)=(ap-bq)+(aq+bp){\sqrt {-1}},$

et, puisque $R$ est réelle, on devra avoir

[1]