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DES IMAGINAIRES.

P. S. Je viens de recevoir, à l’instant, le mémoire de M. Argand, que j’ai lu avec autant d’intérêt que d’empressement. Il ne m’a pas été difficile d’y reconnaître le développement des idées contenues dans la lettre de M. Legendre à feu mon frère ; et il n’y a pas le moindre doute qu’on ne doive à M. Argand la première idée de représenter géométriquement les quantités imaginaires. C’est avec bien du plaisir que je lui en fais hommage ; et je me félicite de l’avoir engagé à publier ses idées, dans l’ignorance où j’étais de leur publication antérieure. J'ai vu aussi que nous nous étions rencontrés dans le principe qui doit servir à étendre cette nouvelle théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions ; mais, en partant d’un même principe, nous parvenons à des résultats différens.

J'ai dit plus haut que je n’avais pu parvenir à ramener l’expression de la position d’une droite quelconque dans l’espace à la forme $a_{\alpha _{A}}$. Voici quels sont les motifs de cette impuissance. J'avais essayé de faire, par analogie, $\alpha _{A}=\alpha .e^{A{\sqrt {-1}}}=\alpha \left(\operatorname {Cos} .A+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .A\right),$ d’où l’on tire

$1_{\alpha _{A}}=\left(e^{\alpha {\sqrt {-1}}}\right)^{e^{A{\sqrt {-1}}}}=\left(\operatorname {Cos} .\alpha +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)^{\left(\operatorname {Cos} .A+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .A\right)}$

ce qui, dans le cas de $\alpha ={\tfrac {1}{2}}\varpi ,\ A={\tfrac {1}{2}}\varpi$, donne $1_{{\tfrac {1}{2}}\varpi .1_{{\tfrac {1}{2}}\varpi }}=\left({\sqrt {-1}}\right)^{\sqrt {-1}},$ comme le trouve M. Argand. Mais, en faisant le développement du cas général, on a

$1_{\alpha _{A}}=\left(e^{\alpha -{\sqrt {-1}}}\right)^{e^{A{\sqrt {-1}}}}=e^{\left(\alpha .e^{A}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt {-1}}}=e^{\left(\alpha \operatorname {Cos} .A+{\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right){\sqrt {-1}}}$

$=e^{{\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Cos} .A}.e^{\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right){\sqrt {-1}}}$

$=\left\{\operatorname {Cos} .\left(\alpha \operatorname {Cos} .A\right)+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\left(\alpha \operatorname {Cos} .A\right)\right\}\left\{\operatorname {Cos} .\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right)+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right)\right\}$