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D’ASTRONOMIE.

de son orbite, ou l’angle $\mathrm {EST} ,$ sera désignée par $\theta ,$ ce qui rend l’angle $\mathrm {NST} =\theta -\delta ,$ et l’angle $\mathrm {AST} =\theta -\delta -\eta .$ Le temps employé par la terre à parcourir l’arc $\mathrm {AT}$ sera donc ${\frac {p(\theta -\delta -\eta )}{2\varpi }}\,;$ et, comme l’astre emploîra le même temps pour parcourir l’arc $\mathrm {BM}$ de la sienne ($\mathrm {B}$ étant le lieu de son aphélie), et pour décrire ainsi l’anomalie vraie $\mathrm {BSM} =\phi ,$ à laquelle répond l’anomalie excentrique $\varkappa ,$ et le rayon vecteur $\mathrm {SM} =r,$ on aura les équations qui suivent :

$r={\tfrac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Sin} .\varkappa ={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},$

$p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ).$

45. Il paraît convenable de réduire toutes les formules aux anomalies excentriques et d’éliminer entièrement les anomalies vraies. Cette réduction est facile ; nous aurons

$r=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )$

$\operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},\quad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},$

$r\operatorname {Sin} .\phi =b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ,\qquad r\operatorname {Cos} .\phi =b(\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu ).$

46. En conséquence, si l’on désigne finalement

par $A$ la longitude géocentrique,

par $B$ la latitude géocentrique de l’astre au moment où la terre est parvenue au point $\mathrm {T}$ de son orbite ; l’angle $\mathrm {TLP=NSZ}$ sera $\delta -A\,;$ l’angle $\mathrm {NST} ,$ que fait le rayon vecteur $\mathrm {ST}$ avec la ligne des nœuds $\mathrm {SN} ,$ sera $\theta -\delta \,;$ l’angle $\mathrm {MSN}$ que fait avec cette même ligne $\mathrm {SN}$ le rayon vecteur $\mathrm {SM}$ de l’astre sera $\epsilon +\phi \,;$ l’angle $\mathrm {MTL}$ sera $B,$ et l’angle $\mathrm {MNL} ,$ qui exprimera l’inclinaison de l’orbite sera $\beta .$ Les formules des n.^os 40 et 41, qui nous faisaient connaître les tangentes des deux angles $\delta -A$ et $B,$ deviendront ainsi

$\operatorname {Tang} .(\delta -A)={\frac {a\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )-r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .\beta }{r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )-a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}},$