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DE LA TRACTOIRE.

Pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais finalement chercher quelle est la force accélératrice qui devrait agir sur le point $M$ pour lui faire décrire la courbe aux tangentes égales ; c’est-à-dire, que je vais résoudre le problème suivant :

PROBLÈME. Pendant qu’un point $P$ parcourt l’axe des $x$, d’un mouvement uniforme, avec la vitesse $b,$ un autre point $M$ se meut d’un mouvement varié et curviligne sur le plan des $xy.$ Le mouvement de ce dernier point est tel que toujours il se trouve à une même distance constante $a$ du point, et qu’en outre la droite mobile qui joint ces deux points est perpétuellement tangente à la courbe décrue par le point $M.$ On demande d’après cela quelle est la nature de cette courbe, et quelle est la force accélératrice qui agit sur $M$ ?

Solution. Soient conservées les notations et conventions du problème précédent. L’invariabilité de la distance entre les points $M$ et $P$ sera exprimée par l’équation

$(x-x')^{2}+y^{2}=a^{2}\,;\qquad$(1)

et la propriété dont jouit la droite qui les joint, d’être perpétuellement tangente à la courbe décrite par $M,$ sera exprimée par cette autre équation

${\frac {y}{x-x'}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},\qquad$ou$\qquad y=(x-x'){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.\qquad$(2)

Éliminant $x-x'$ entre elles, il viendra

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}\,;$

équation dont l’intégrale est

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-aLog.{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}+C.$

Si, pour déterminer la constante, on suppose, comme ci-dessus, qu’on ait en même temps