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LIGNE ET SURFACE

Par cette transformation, nous n’aurons rien changé à l’étendue de la surface proposée, et nous aurons (Lemme I) diminué son contour ; d’où nous devrons conclure que ce contour n’était pas d’abord un minimum.

Le caractère de la surface de moindre contour est donc que toutes les cordes perpendiculaires à aient leur milieu sur cette droite ou, en d’autres termes, que en soit un diamètre principal ; et, puisque la direction de est arbitraire, il en faut conclure que tous les diamètres de la surface de moindre contour doivent être des diamètres principaux : propriété qui appartient exclusivement au cercle.

Corollaire I. Il résulte de là que, de toutes les surfaces planes de même contour, le cercle est celle qui a le plus d’étendue.

Soient en effet un cercle et une autre surface plane quelconque de même périmètre Concevons un cercle équivalent à et soit son périmètre. D’après ce qui précède, on aura d’où on devra conclure  ; puis donc qu’on a on aura aussi

Corollaire II. De toutes les surfaces planes de même étendue, terminées par une droite donnée et par une ligne se terminant aux extrémités de cette droite, celle de moindre contour est le segment de cercle dont est la corde.

Soient en effet le segment et une autre surface équivalente construite aussi sur et soient respectivement et les longueurs des deux lignes qui, avec terminent ces surfaces. Soit achevée la circonférence dont fait partie ; soient l’arc et le segment supplémentaires ; on aura, par l’hypothèse  ; si donc on pouvait avoic on aurait aussi d’où il résulterait cette conséquence absurde que le cercle n’est point la surface du moindre contour, parmi toutes celles de même étendue.

Corollaire III De toutes les surfaces planes de même contour, terminées par une droite donnée et par une ligne se terminant aux deux extrémités de cette droite, celle de plus grande étendue est le segment de cercle dont est la corde.