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COURBURE

${\text{pour M}}\left\{{\begin{aligned}X=&x,\\Y=&y,\\Z=&z\,;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{pour M’}}\left\{{\begin{aligned}X=&x+g,\\Y=&y+h,\\Z=&z+k\,;\\\end{aligned}}\right.$

d’où résultera, en vertu de la série de Taylor,

$k=pg+qh+{\tfrac {1}{2}}\left(rg^{2}+2sgh+th^{2}\right)+\ldots \qquad$(2)

Les équations de la sécante $\mathrm {MM'}$ seront

$X-x={\frac {g}{k}}(Z-z),\qquad Y-y={\frac {h}{k}}(Z-z),\qquad$(3)

Le plan tangent par le point $\mathrm {M}$ ayant pour équation

$Z-z=p(X-x)+q(Y-y)\,;\qquad \qquad$(4)

l’équation du plan tangent par le point $\mathrm {M'}$ sera

$Z-z-k=(p+rg+sh+\ldots )(X-x-g)$

$+(q+sg+th+\ldots )(Y-y-h).\qquad$(5)

Dans la recherche de l’intersection de ces deux plans, on pourra, à cette dernière équation, substituer sa différence avec la première, laquelle est, toutes réductions faites, et ayant égard à l’équation (2),

$2(rg+sh+\ldots )(X-x)+2(sg+th+\ldots )(Y-y)$

$=(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots \qquad$(6)

On aura, d’un autre côté, pour l’équation de la projection de $\mathrm {MM'}$ sur le plan des $XY$

$Y-y={\frac {h}{g}}(X-x).\qquad$(7)

Si présentement on pose

$h=g\operatorname {Tang} .\alpha \qquad$(8)