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DES SURFACES.

d’où

$k=(p+q\operatorname {Tang} .\alpha )g+{\tfrac {1}{2}}\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)g^{2}+\ldots \,;\$(9)

les équations (6) et (7) deviendront respectivement, en réduisant

$\left.{\begin{aligned}&2(r+s\operatorname {Tang} .\alpha +\ldots )(X-x)\\+&2(s+t\operatorname {Tang} .\alpha +\ldots )(Y-y)\\\end{aligned}}\right\}=\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)g+\ldots \quad {\text{(10)}}$

$Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\alpha \qquad$(11)

Si enfin on suppose $g=0,$ auquel cas ces équations deviendront celles des projections sur le plan des $XY$ de deux tangentes conjuguées menées à la surface (1) par le point $\mathrm {M}$ ; on aura, pour les équations des projections de ces deux tangentes,

$(r+s\operatorname {Tang} .\alpha )(X-x)+(s+t\operatorname {Tang} .\alpha )(Y-y)=0,\qquad$(12)

$Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\alpha \qquad$(11)

Si, en place de la première de ces deux équations, on écrit simplement

$Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\beta \qquad$(13)

on aura

$\operatorname {Tang} .\beta =-{\frac {r+s\operatorname {Tang} .\alpha }{s+t\operatorname {Tang} .\alpha }},$

ou

$r+s(\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta )+t\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =0\,;\qquad$(14)

d’où l’on voit que ces deux tangentes sont parfaitement réciproques, et que la première peut être déduite de la seconde comme celle-ci peut l’être de l’autre.

Si présentement nous supposons que le point $\mathrm {M}$ ait été pris pour