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CORRESPONDANCE.

Les corrections sont expliquées en page de discussion

M. du Bourguet ne peut défendre la sienne qu’à l’aide d’un cercle vicieux. Supposer, en effet, que, si l’équation

Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots =b\qquad

(1)

ne donne pas $x=a,$ elle donnera tout au moins $x=a+\delta ,$ c’est bien supposer, ce me semble, que toute équation est résoluble, ce qui est précisément la thèse à établir.^[1]

↑ On démontre que toute équation
$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx-H=0,\qquad$ (1)

dont le dernier terme est négatif, admet toujours au moins une racine que l’on peut représenter comme il suit :

$x=\phi (A,B,C,\ldots G,-H)\,;\qquad$ (2)

or, pour qui est familier avec la marche de l’algèbre, il est clair que, si la valeur (2) rend l’équation (1) identique, la valeur

$x=\phi (A,B,C,\ldots G,H)\,;\qquad$ (3)

produira le même effet sur l’équation

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx+H=0,\qquad$ (4)

Cette assertion pourrait, au surplus, se prouver comme il suit : soit mis le résultat de la substitution de (2) dans (1) sous la forme

$a-bH+cH^{2}-dH^{3}+eH^{4}-\ldots =0\,;\qquad$ (6)

$a,b,c,\ldots$ étant des fonctions de $A,B,C,\ldots G$ ; cette équation (6) devant se vérifier d’elle-même, sans aucune détermination de $H,$ on doit avoir

$a=0,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=0,\ldots$ ; (7)

mais, si (6) est le résultat de la substitution de (2) dans (1), celui de la substitution de (3) dans (4) sera incontestablement

$a+bH+cH^{2}+dH^{3}+eH^{4}+\ldots =0\,;\qquad$ (8)

or, en vertu des équation (7), l’équation (8) est identique ; donc, en effet, (3) résout (4).

La difficulté de cette théorie se trouve donc encore, comme celle de tant d’autres, ramenée à ceci : Toute fonction peut-elle légitimement être supposée développée suivant les puissances entières et positives de l’un des symboles qui la composent ?

Au surplus, si l’on ne trouvait rien à objecter contre la théorie développée par M. de Maizière, à la page 368 du premier volume de ce recueil, on en pourrait peut-être déduire une démonstration du théorème de M. du Bourguet.

[1] On démontre que toute équation
$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx-H=0,\qquad$ (1)

dont le dernier terme est négatif, admet toujours au moins une racine que l’on peut représenter comme il suit :

$x=\phi (A,B,C,\ldots G,-H)\,;\qquad$ (2)

or, pour qui est familier avec la marche de l’algèbre, il est clair que, si la valeur (2) rend l’équation (1) identique, la valeur

$x=\phi (A,B,C,\ldots G,H)\,;\qquad$ (3)

produira le même effet sur l’équation

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx+H=0,\qquad$ (4)

Cette assertion pourrait, au surplus, se prouver comme il suit : soit mis le résultat de la substitution de (2) dans (1) sous la forme

$a-bH+cH^{2}-dH^{3}+eH^{4}-\ldots =0\,;\qquad$ (6)

$a,b,c,\ldots$ étant des fonctions de $A,B,C,\ldots G$ ; cette équation (6) devant se vérifier d’elle-même, sans aucune détermination de $H,$ on doit avoir

$a=0,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=0,\ldots$ ; (7)

mais, si (6) est le résultat de la substitution de (2) dans (1), celui de la substitution de (3) dans (4) sera incontestablement

$a+bH+cH^{2}+dH^{3}+eH^{4}+\ldots =0\,;\qquad$ (8)

or, en vertu des équation (7), l’équation (8) est identique ; donc, en effet, (3) résout (4).

La difficulté de cette théorie se trouve donc encore, comme celle de tant d’autres, ramenée à ceci : Toute fonction peut-elle légitimement être supposée développée suivant les puissances entières et positives de l’un des symboles qui la composent ?

Au surplus, si l’on ne trouvait rien à objecter contre la théorie développée par M. de Maizière, à la page 368 du premier volume de ce recueil, on en pourrait peut-être déduire une démonstration du théorème de M. du Bourguet.

[1]