Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/145

139

DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On différenciera ensuite l’équation (130) successivement par rapport à $v\,;$ et, en faisant attention à (129), on trouvera

${\frac {\operatorname {d} }{v}}{\frac {\operatorname {d} ^{m}}{u}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} ^{m}}{u}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} ^{m-1}}{x}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{m}\right\}={\frac {\operatorname {d} ^{m}}{x}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{m}\psi p\right\},$

${\frac {\operatorname {d} ^{m}}{u}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{v}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} ^{m+1}}{x}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{m}.(\psi p)^{2}\right\}\,;$

et, en général

${\frac {\operatorname {d} ^{m}}{u}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}}{v}}\operatorname {F} p={\frac {\operatorname {d} ^{m+n-1}}{x}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{m}.(\psi p)^{n}\right\}.\qquad$(131)

C’est le terme général des coefficiens de développement cherché, où il n’y a plus qu’à satisfaire à la condition $u=v=0,$ qui (118) donne $t=0.$ Alors, dans notre terme général (131), $p$ se change en $x\,;$ les différentielles partielles suivant $x$ deviennent totales ; il est alors

${\frac {\operatorname {d} ^{m}}{u}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}}{v}}\operatorname {F} p_{0}=\operatorname {d} ^{m+n-1}\left\{\operatorname {dF} x.(\varphi x)^{m}.(\psi x)^{n}\right\}\,;\qquad$(132)

on a enfin (119)

$\left.{\begin{array}{rll}\operatorname {F} (x+t)=\operatorname {F} x+u\operatorname {dF} x.\varphi x&+{\frac {u^{2}}{1.2}}\operatorname {d} \left\{\operatorname {dF} x.(\varphi x)^{2}\right\}&+\ldots \\+v\operatorname {dF} x.\psi x&+2{\frac {uv}{1.2}}\operatorname {d} \left\{\operatorname {dF} x.\varphi x.\psi x\right\}&+\ldots \\&+{\frac {v^{2}}{1.2}}\operatorname {d} \left\{\operatorname {dF} x.(\psi x)^{2}\right\}&+\ldots \\&&+\ldots \\\end{array}}\right\}$ (133)

Je m’abstiendrai de faire des applications des formules de déve-