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CALCUL

ou, en effectuant les dérivations indiquées, mettant $a_{3}$ pour $\operatorname {D} a_{2},$ et ordonnant par rapport à $x$,

(55)$\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\right)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x$

$+\left(\operatorname {D} \phi a.a_{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}x^{2}\right)x^{2}$

$+\left(\operatorname {D} \phi a.a_{3}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}a_{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right)x^{3}$

$+\left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{3}+a_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}a_{2}+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4}\right\}x^{4}+\ldots$

En comparant les coefficiens des seconds membres des équations (53), (54), (55) avec les formules (10), on voit que les deux premiers termes de l’équation (53), les trois premiers de (54) et les quatre premiers de (55) sont déjà complets. En continuant ces substitutions, on obtiendrait chaque fois un terme complet de plus, et l’on arriverait enfin au développement entier de la fonction de polynôme $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right).$ Mais, sans aller plus loin, nous pouvons déjà observer, 1.^o qu’on ne fait jamais varier, dans chaque terme, qu’une seule lettre à la fois, ou sa puissance, et que celle lettre est la dernière dans l’ordre des indices ; car, d’après la marche que nous venons de suivre, dans ces développemens successifs, il est évident que les dernières lettres, dans l’ordre des indices, ne proviennent que des variations qu’ont subies les lettres précédentes ; or, si l’on faisait encore varier celles-ci, il en résulterait que les mêmes lettres auraient subi plusieurs variations ; ce qui est contraire à la marche de ces substitutions successives, où l’on ne fait plus attention aux lettres qui ont déjà subi une variation ; et il s’ensuit que, dans chaque terme, on ne doit faire varier que la dernière lettre ou sa puissance ; 2.^o que, dans ces variations successives, chaque lettre est considérée comme un premier terme de polynôme ; c’est-à-dire, qu’on écrit $a_{2}$ pour $\operatorname {D} a_{1},\ a_{3}$ pour $\operatorname {D} a_{2},\ a_{4}$ pour $\operatorname {D} a_{3},\ldots$ sans autre coefficient que l’unité.

Voilà donc les deux conditions principales de la première partie de la règle du n.^o 8 justifiées. Mais examinons de plus près la formation de chaque terme du développement, en supposant que toutes les substitutions précédentes, au lieu d’être successives, soient faites à la fois.

33. Le terme $A_{n+1},$ ou le coefficient de $x^{n+1}$ dans le déve-