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CALCUL

(61) $A_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n}.\phi a}{1.2\ldots n}}={\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi a}{1.2\ldots n}}.a_{1}^{n}+{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\phi a}{1.2\ldots (n-1)}}.\operatorname {D} .a_{1}^{n-1}$

$+{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}\phi a}{1.2\ldots (n-2)}}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{n-2}+\ldots$

$+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{n-2}a_{1}^{2}}{1.2\ldots (n-2)}}+\operatorname {D} \phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{n-1}a_{1}}{1.2\ldots (n-1)}}.$

Les quantités qui restent à développer, dans cette dernière formule, se succèdent dans l’ordre suivant

(62) $a_{1}^{n},\ \operatorname {D} .a_{1}^{n-1},\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{n-2},\ {\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{n-3},\ {\tfrac {\operatorname {D} ^{n-2}.a_{1}^{2}}{1.2\ldots (n-2)}},\ {\tfrac {\operatorname {D} ^{n-1}.a_{1}}{1.2\ldots (n-1)}}.$

Si tous les exposans de $a_{1},$ sous les signes de dérivation, étaient les mêmes et égaux à $n,$ on appliquerait immédiatement, au développement de ces quantités, la règle du n.^o 8 ; mais, comme ils vont toujours en diminuant, il est nécessaire, avant tout, de faire subir à chaque terme une préparation qui consiste à diminuer l’exposant de $a_{1}$ d’une unité, d’un terme au suivant, et à modifier en conséquence les coefficiens numériques provenant de ces exposans.

Pour trouver la règle de cette préparation, observons que les dérivées (62) se développent elles-mêmes selon la formule (61), et qu’on a, en général,

(63) ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots (n-r)}}={\frac {\operatorname {D} ^{r}a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots r}}.a_{2}^{r}+{\frac {\operatorname {D} ^{r-1}a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots (r-1)}}.\operatorname {D} .a_{2}^{r-1}$

$+{\frac {\operatorname {D} ^{r-2}a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots (r-2)}}.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{2}^{r-2}+\ldots$

$+{\frac {\operatorname {D} ^{r-s}a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots (r-s)}}.{\frac {\operatorname {D} ^{s}a_{2}^{r-s}}{1.2\ldots s}}+\ldots +\operatorname {D} .a_{1}^{n-r}.{\frac {\operatorname {D} ^{r-1}a_{2}}{1.2\ldots (r-1)}}.$

Or, pour déduire de ce développement celui de ${\frac {\operatorname {D} ^{r+1}a_{1}^{n-r-1}}{1.2\ldots (r+1)}},$ il suffit d’en déduire d’abord celui de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}a_{1}^{n-r-1}}{1.2\ldots r}}$ et d’appliquer à ce dernier la règle du n.^o 8. À cet effet, on changera, dans tous les termes de la formule (63), $n$ en $n-1$ ; mais voyons ce qui en résultera