Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/120

114

LIMITES DES RACINES

${\frac {c}{a+b}},\quad {\frac {d}{a+b}},\quad {\frac {f}{a+b+e}},\quad {\frac {g}{a+b+e}},\quad {\frac {k}{a+b+e+h}},$

ou, ce qui revient au même, si l’on ne prend pas $x$ moindre que le plus grand des cinq nombres

$1+{\frac {c}{a+b}},1+{\frac {d}{a+b}},1+{\frac {f}{a+b+e}},1+{\frac {g}{a+b+e}},1+{\frac {k}{a+b+e+h}}\,;$

ce qui fournit la règle suivante.

THÉORÈME I. En ajoutant successivement à l’unité une suite de fractions ayant pour numérateurs les coefficiens négatifs d’une équation proposée, pris positivement, et pour dénominateurs la somme de tous les coefficiens positifs qui les précèdent respectivement, le plus grand des nombres résultans pourra être pris pour limite supérieure des racines de cette équation.

Il est entendu au surplus que, dans la pratique, il suffira de considérer le plus grand coefficient dans chacune des séries de termes négatifs.

Appliquons cette règle à la recherche d’une limite supérieure des racines de l’équation

$2x^{7}+11x^{6}-10x^{5}-26x^{4}+31x^{3}+72x^{2}-230x-348=0\,;$

cette limite sera le plus grand des deux nombres

$1+{\frac {26}{2+11}}\qquad$ou$\qquad 1+{\frac {26}{13}}\,;$

$1+{\frac {348}{2+11+31+32}}\qquad$ou$\qquad 1+{\frac {348}{116}}\,;$

ainsi, cette limite sera 4.

Si l’on veut obtenir la limite inférieure des mêmes racines, on