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QUESTIONS

Solution. Soient $X,Y,Z$ les trois angles du triangle ; $x,y,z$ les côtés respectivement opposés ; et enfin, $a,b,c$ les perpendiculaires abaissées sur leurs directions du centre du cercle circonscrit.

La droite qui joint le centre à l’une quelconque des extrémités du côté $z$ est l’hypothénuse d’un triangle-rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont ${\tfrac {1}{2}}z$ et $c,$ et dans lequel l’angle opposé à ${\tfrac {1}{2}}z$ est $Z\,;$ d’où il suit qu’on doit avoir

$2c\operatorname {Tang} .Z=z\,;$

ou, en quarrant et transformant la tangente en fonction du cosinus

$4c^{2}=\left(4c^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}Z.\qquad$(1)

Les pieds des perpendiculaires $a,b$ étant les milieux respectifs des côtés $x,y,$ il s’ensuit que la droite qui les joint est parallèle à $z$ et égale à ${\tfrac {1}{2}}z\,;$ et, comme d’ailleurs l’angle de ces deux droites a, b est supplément de Z, il s’ensuit qu’on doit avoir

$z^{2}=4\left(a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Cos} .Z\right)$

ou

$z^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)=8ab\operatorname {Cos} .Z.\qquad$(2)

Si, entre les équations (1) et (2), on élimine $z^{2},$ il viendra

$2ab\operatorname {Cos} .^{3}Z+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\operatorname {Cos} .^{2}Z-c^{2}=0\,;$

ou encore

$c^{2}\operatorname {Sec} .^{3}Z-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\operatorname {Sec} .Z-2ab=0\,;\qquad$(3)

équation du troisième degré, sans second terme, qui est dans le cas irréductible ; et on aura deux autres équations analogues pour déterminer $X$ et $Y.\ X,Y,Z$ étant ainsi connus, on mènera par un même point trois droites égales à $a,b,c$ formant autour de ce point des angles supplémens de ceux-là ; menant ensuite à ces trois droites par leurs extrémités des perpendiculaires, terminées à leur rencontre commune, le triangle demandé se trouvera construit.

Si l’on voulait avoir immédiatement l’équation qui donne le côté $z,$ il ne s’agirait que d’éliminer $\operatorname {Cos} .Z,$ entre les équations (1) et(2), ce qui donnerait