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LIGNES ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

rapport à $m$ et à $n,$ et chassant ensuite le dénominateur, on obtiendra, en transposant, les deux équations

$\left.{\begin{aligned}&\left(Ar^{2}-E\right)m+\left(C'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\gamma \right)n+\left(B'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\beta \right)=0,\\&\left(Br^{2}-E\right)n+\left(C'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\gamma \right)m+\left(A'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha \right)=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad (9)$

lesquelles ne sont, au surplus, que les dérivées de (8), prises successivement par rapport à $m$ et par rapport à $n.$ Telles sont donc les équations qui feront connaître les valeurs de $m$ et de $n$ qui conviennent aux diamètres principaux, lorsque toutefois, sera déterminée conformément à la présente hypothèse.

Au moyen de ces équations, l’équation (8) se simplifie ; en en retranchant en effet la somme des produits respectifs de celles-ci par $m$ et $n,$ elle devient

$\left(B'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\beta \right)m+\left(A'r^{2}-E\operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha \right)n+\left(Cr^{2}-E\right)=0.$ (10)

Éliminant donc $m$ et $n$ de cette dernière, au moyen des équations (9), et faisant encore usage des abréviations déjà employées ci-dessus il viendra

$dr^{6}+E\left(a+b+c+2a'\operatorname {Cos} .\alpha +2b'\operatorname {Cos} .\beta +2c'\operatorname {Cos} .\gamma \right)r^{4}$

$+E^{2}\left\{{\begin{aligned}&A\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2A'(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&B\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2B'(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&C\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2C'(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}r^{2}\qquad (11)$

$-E^{3}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.$

Cette dernière équation fera connaître les longueurs des demi-diamètres principaux ; on en conclura ensuite leurs directions, au moyen des équations (9). On conviendra encore ici qu’il n’est guère