Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/242

232

THÉORÈMES

la théorie des pôles^[1], que les points de concours des tangentes aux extrémités de ces hypothénuses seront tous situés sur une même droite.

Si donc, n’ayant d’autre instrument qu’un équerre, on veut construire la tangente et la normale en un point quelconque d’une ligne du second ordre, il ne s’agira que de construire, avec l’équerre, deux triangles rectangles ayant le sommet de l’angle droit au point dont il s’agit ; la droite menée de ce point à l’intersection des hypothénuses des deux triangles sera la normale, et conséquemment la perpendiculaire menée à cette droite, par le même point de la courbe, en sera la tangente.

Cette construction fournit en outre un moyen assez simple d’obtenir le rayon de courbure, et conséquemment la situation du centre du cercle osculateur. Si, en effet, l’on désigne par $K$ la distance de l’origine au point fixe de la normale par lequel passent toutes les hypothénuses, point que nous venons d’enseigner à déterminer ; on aura (10)

$K={\frac {2NP}{2P+N}},\quad$d’où$\quad P={\tfrac {1}{2}}.{\frac {KN}{N-K}}.$

Il résulte clairement de notre analise qu’il y aurait une infinité d’autres cas où les droites $\mathrm {C}$ se couperaient en un même point de la normale. Nous nous bornerons à signaler celui où l’on aurait

${\frac {aa'}{bb'}}=1,\quad$ou$\quad aa'=bb',\quad$ou encore$\quad {\frac {a}{b}}={\frac {b'}{a'}}\,;$

c’est celui où les droites $\mathrm {D,D'}$ feraient d’un même côté, soit avec la tangente soit avec la normale, des angles complément l’un de l’autre. Le point fixe serait alors donné par la formule

$y={\frac {2NP}{2P-N}}.$

1. Voyez Annales, tome III, page 293.