Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/260

250

INTERPOLATION

$\left.{\begin{aligned}&\left(A+Ba\ \ +Ca^{2}\ \ +Da^{3}\ \ +\ldots -b\right)^{2}\\+&\left(A+Ba'\ +Ca'^{2}\ +Da'^{3}\ +\ldots -b'\right)^{2}\\+&\left(A+Ba''+Ca''^{2}+Da''^{3}+\ldots -b''\right)^{2}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=minimum\,;$

c’est-à-dire, en différentiant par rapport à $A,\ B,\ C,\ D,\ldots$

$\left.{\begin{aligned}&\left(A+Ba\ \ +Ca^{2}\ \ +\ldots -b\right)\left(\operatorname {d} A+a\ \ \operatorname {d} B+a^{2}\ \ \operatorname {d} C+\ldots \right)\\+&\left(A+Ba'\ +Ca'^{2}\ +\ldots -b'\right)\left(\operatorname {d} A+a'\ \operatorname {d} B+a'^{2}\ \operatorname {d} C+\ldots \right)\\+&\left(A+Ba''+Ca''^{2}+\ldots -b''\right)\left(\operatorname {d} A+a''\operatorname {d} B+a''^{2}\operatorname {d} C+\ldots \right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=0.$

À cause de l’indépendance entre $A,\ B,\ C,\ldots$ les multiplicateurs de $\operatorname {d} A,\ \operatorname {d} B,\ \operatorname {d} C,\ldots$ devront séparément être nuls ; faisant donc en général, pour abréger,

$\Sigma a^{m}=a^{m}+a'^{m}+a''^{m}+\ldots ,$

$\Sigma a^{m}b=a^{m}b+a'^{m}b'+a''^{m}b''+\ldots \,;$

on aura cette suite d’équations

$\left.{\begin{array}{lll}&\Sigma a^{0}.A+\Sigma a\ .B+\Sigma a^{2}.C+\Sigma a^{3}.D+\ldots &=\Sigma a^{0}b,\\&\Sigma a\ .A+\Sigma a^{2}.B+\Sigma a^{3}.C+\Sigma a^{4}.D+\ldots &=\Sigma a\ b,\\&\Sigma a^{2}.A+\Sigma a^{3}.B+\Sigma a^{4}.C+\Sigma a^{5}.D+\ldots &=\Sigma a^{2}b,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \;;\\\end{array}}\right\}(1)$

en nombre précisément égal à celui des coefficiens $A,\ B,\ C,\ D,\ldots$ qu’il s’agit de déterminer ; et, tandis que les méthodes ordinaires donnent pour $y$ et ses coefficiens différentiels des valeurs d’une précision toujours un peu inférieure à celle des données d’après lesquelles on les calcule, on pourra le plus souvent espérer ici de l’emporter en précision sur ces données elles-mêmes.

Le cas le plus simple, et en même temps le plus fréquent, est celui où les valeurs de $x$ sont en progression par différences ; il est alors permis de substituer à cette progression la suite naturelle des